Em um curso de idiomas, foi feita uma pesquisa com adolescentes para verificar quais línguas estrangeiras eles gostariam de aprender. O resultado foi: 23 gostariam de aprender inglês; 24 gostariam de aprender espanhol; 25 gostaria de aprender italiano; 12 gostariam de aprender inglês e italiano; 10 gostariam de aprender italiano e espanhol; 9 gostariam de aprender inglês e espanhol; 7 gostariam de aprender inglês, espanhol e italiano. Quantos adolescentes foram entrevistados?

Passo 1

Aqui a gente tem um problema sobre contar quantos adolescentes foram entrevistados em um curso de idiomas, considerando as diferentes preferências de línguas que eles têm. Vamos usar o Princípio da Inclusão-Exclusão, que ajuda a calcular o total sem contar ninguém mais de uma vez quando os grupos se sobrepõem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantos adolescentes querem aprender cada língua individualmente:
  • Inglês (E): 23 alunos
  • Espanhol (S): 24 alunos
  • Italiano (I): 25 alunos

Passo 3

Depois, temos os números de adolescentes que querem aprender duas línguas ao mesmo tempo:
  • Inglês e Italiano (E ∩ I): 12 alunos
  • Italiano e Espanhol (I ∩ S): 10 alunos
  • Inglês e Espanhol (E ∩ S): 9 alunos

Passo 4

Também sabemos quantos adolescentes querem aprender as três línguas juntas:
  • Inglês, Espanhol e Italiano (E ∩ S ∩ I): 7 alunos

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula do Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos:
N = |E| + |S| + |I| - |E cap S| - |E cap I| - |S cap I| + |E cap S cap I|
Onde:
  • $ |E| $ é o número de alunos que querem inglês
  • $ |S| $ é o número de alunos que querem espanhol
  • $ |I| $ é o número de alunos que querem italiano
  • As interseções representam os alunos que querem aprender duas ou mais línguas

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
N = 23 + 24 + 25 - 9 - 12 - 10 + 7

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
  1. $ 23 + 24 = 47 $
  2. $ 47 + 25 = 72 $
  3. $ 72 - 9 = 63 $
  4. $ 63 - 12 = 51 $
  5. $ 51 - 10 = 41 $
  6. $ 41 + 7 = 48 $

Resposta

Foram entrevistados 48 adolescentes no total.

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