O cursor montado entre molas se move em uma guia horizontal com atrito desprezível e tem uma velocidade v0 no sentido s quando cruza a posição central em que s=0 e t=0. As duas molas em conjunto exercem uma força para retardar o movimento do cursor, o que lhe confere uma aceleração proporcional ao deslocamento, mas com sentido oposto e de valor a=-k^2 s, onde k é constante. Determine uma expressão para s(t) e v(t).
Resposta: S=(V0 / k) sen(kt) e V=V0 cos (kt)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está falando. Temos um cursor que se move em uma guia horizontal sem atrito e que possui uma velocidade inicial na direção quando passa pela posição central no tempo . As duas molas exercem uma força que desacelera o movimento do cursor, e essa força está relacionada à sua posição. O conteúdo que vamos usar aqui é o de Movimento Harmônico Simples (MHS), e precisamos aplicar as equações de aceleração, velocidade e posição para resolver o exercício.

Passo 2

Sabemos que a aceleração a = -k^2 s do cursor é proporcional ao deslocamento , mas com sentido oposto. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui, é uma constante que relaciona a proporcionalidade entre a aceleração e o deslocamento.

Passo 3

A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
d^2sdt^2 = -k^2 s
Essa é uma equação diferencial que caracteriza o Movimento Harmônico Simples.

Passo 4

A solução geral dessa equação diferencial é uma combinação de funções seno e cosseno. Então, a posição s(t) = A sin(k t) + B cos(k t) pode ser escrita como:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais. No tempo s(0) = A sin(0) + B cos(0) = B = 0 , a posição central é s(t) = A sin(k t) :
Então, , e a equação simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a constante v(t) = dsdt = A k cos(k t) usando a condição inicial da velocidade. A velocidade inicial é v(0) = A k cos(0) = A k = v0 quando . Primeiro, encontramos a expressão da velocidade derivando a posição:
No tempo , temos:
Portanto, .

Passo 7

Substituindo s(t) = (v0k) sin(k t) na expressão da posição, temos:
v(t) = v0 cos(k t)
E a expressão da velocidade já encontramos:

Resposta

A posição e a velocidade do cursor em função do tempo são:
s(t) = (v0k) sin(k t) e v(t) = v0 cos(k t)

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