O cursor montado entre molas se move em uma guia horizontal com atrito desprezível e tem uma velocidade
no sentido s quando cruza a posição central em que
e
. As duas molas em conjunto exercem uma força para retardar o movimento do cursor, o que lhe confere uma aceleração proporcional ao deslocamento, mas com sentido oposto e de valor
, onde k é constante. Determine uma expressão para
e
.
Resposta:
e
Resposta:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está falando. Temos um cursor que se move em uma guia horizontal sem atrito e que possui uma velocidade inicial
na direção
quando passa pela posição central
no tempo
. As duas molas exercem uma força que desacelera o movimento do cursor, e essa força está relacionada à sua posição. O conteúdo que vamos usar aqui é o de Movimento Harmônico Simples (MHS), e precisamos aplicar as equações de aceleração, velocidade e posição para resolver o exercício.
Passo 2
Sabemos que a aceleração
do cursor é proporcional ao deslocamento
, mas com sentido oposto. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
é uma constante que relaciona a proporcionalidade entre a aceleração e o deslocamento.
Passo 3
A aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Essa é uma equação diferencial que caracteriza o Movimento Harmônico Simples.
Passo 4
A solução geral dessa equação diferencial é uma combinação de funções seno e cosseno. Então, a posição
pode ser escrita como:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais. No tempo
, a posição central é
:
Então,
, e a equação simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a constante
usando a condição inicial da velocidade. A velocidade inicial é
quando
. Primeiro, encontramos a expressão da velocidade derivando a posição:
No tempo
, temos:
Portanto,
.
Passo 7
Substituindo
na expressão da posição, temos:
E a expressão da velocidade já encontramos:
Resposta
A posição e a velocidade do cursor em função do tempo são: