A particle is moving along a straight line with the acceleration a=12 t-3 t^1 / 2, where t is in seconds. Determine the velocity and the position of the particle as a function of time. When, t=0, v=0 and s=15 m. (Resposta: V=6 t^2-2 t^3 / 2 e S= 15+2 t^3-4 / 5(t^5 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo em linha reta com uma aceleração que varia com o tempo, dada por . Queremos encontrar as funções de velocidade e posição da partícula em função do tempo. Sabemos que, quando , a velocidade e a posição metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, já que a aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de velocidade a(t) = dVdt a partir da aceleração . Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para encontrar , precisamos integrar em relação a .

Passo 3

Vamos integrar a aceleração:
V(t) = integral a(t) , dt = integral (12t - 3t^1/2) , dt
Vamos integrar termo a termo:
integral 12t , dt = 12 cdot t^22 = 6t^2
integral -3t^1/2 , dt = -3 cdot t^3/232 = -2t^3/2
Então, a função de velocidade é:
V(t) = 6t^2 - 2t^3/2 + C

Passo 4

Agora, vamos determinar a constante de integração V(0) = 6(0)^2 - 2(0)^3/2 + C = 0 Rightarrow C = 0 usando a condição inicial V(t) = 6t^2 - 2t^3/2 :
Portanto, a função de velocidade fica:

Passo 5

Next, vamos encontrar a função de posição V(t) = dSdt . Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
S(t) = integral V(t) , dt = integral (6t^2 - 2t^3/2) , dt
Então, para encontrar , vamos integrar em relação ao tempo:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral 6t^2 , dt = 6 cdot t^33 = 2t^3
integral -2t^3/2 , dt = -2 cdot t^5/252 = -45t^5/2
Então, a função de posição é:
S(t) = 2t^3 - 45t^5/2 + D

Passo 7

Agora, vamos determinar a constante de integração S(0) = 2(0)^3 - 45(0)^5/2 + D = 15 Rightarrow D = 15 usando a condição inicial S(t) = 15 + 2t^3 - 45t^5/2 metros:
Portanto, a função de posição fica:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é e a posição em função do tempo é .

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