A particle is moving along a straight line with the acceleration , where is in seconds. Determine the velocity and the position of the particle as a function of time. When, and . (Resposta: e

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo em linha reta com uma aceleração que varia com o tempo, dada por . Queremos encontrar as funções de velocidade e posição da partícula em função do tempo. Sabemos que, quando , a velocidade e a posição metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, já que a aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função de velocidade a partir da aceleração . Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para encontrar , precisamos integrar em relação a .

Passo 3

Vamos integrar a aceleração:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a função de velocidade é:

Passo 4

Agora, vamos determinar a constante de integração usando a condição inicial :
Portanto, a função de velocidade fica:

Passo 5

Next, vamos encontrar a função de posição . Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, para encontrar , vamos integrar em relação ao tempo:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Então, a função de posição é:

Passo 7

Agora, vamos determinar a constante de integração usando a condição inicial metros:
Portanto, a função de posição fica:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é e a posição em função do tempo é .

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