A particle is moving along a straight line with the acceleration
, where
is in seconds. Determine the velocity and the position of the particle as a function of time. When,
and
. (Resposta:
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo em linha reta com uma aceleração que varia com o tempo, dada por
. Queremos encontrar as funções de velocidade
e posição
da partícula em função do tempo. Sabemos que, quando
, a velocidade
e a posição
metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, já que a aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função de velocidade
a partir da aceleração
. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar a aceleração:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a função de velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos determinar a constante de integração
usando a condição inicial
:
Portanto, a função de velocidade fica:
Passo 5
Next, vamos encontrar a função de posição
. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Então, para encontrar
, vamos integrar
em relação ao tempo:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Então, a função de posição é:
Passo 7
Agora, vamos determinar a constante de integração
usando a condição inicial
metros:
Portanto, a função de posição fica:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é
e a posição em função do tempo é
.