Uma curva, em uma auto-estrada, cujo raio de curvatura é
, é inclinada num ângulo
de teta com relação à horizontal. Se o coeficiente de atrito for
, qual a velocidade máxima e velocidade mínima de um carro para percorrê-la sem derrapar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma curva numa autoestrada que está inclinada num ângulo
com relação à horizontal e tem um raio de curvatura
. Queremos encontrar as velocidades máxima e mínima que um carro pode ter para percorrer essa curva sem derrapar, considerando um coeficiente de atrito
. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças envolvidas na curva, como a força centrípeta, a força de atrito e a inclinação da estrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando um carro faz uma curva, ele precisa de uma força centrípeta para manter a trajetória curva. Essa força é dada por:
onde:
-
é a massa do carro, -
é a velocidade, -
é o raio da curva.
Passo 3
Como a estrada está inclinada num ângulo
, temos componentes das forças na direção horizontal e vertical. A força normal
do solo age perpendicularmente à superfície inclinada, e a força de atrito
atua paralelamente à superfície.
Passo 4
Vamos decompor as forças. Na direç��o vertical, o equilíbrio das forças nos dá:
onde
é a aceleração da gravidade. Isso nos permite encontrar a força normal:
Passo 5
Agora, na direção horizontal, a força centrípeta necessária é fornecida pela componente da força normal e pela força de atrito. Dependendo da direção da atrito, podemos ter duas situações: atrito ajudando a fornecer a força centrípeta ou atrito resistindo a ela.
Passo 6
Para encontrar a velocidade máxima, consideramos a situação onde a força de atrito está ajudando a fornecer a força centrípeta. A força total na direção horizontal será:
Substituindo
:
Simplificando:
Cancelando
e resolvendo para
:
Passo 7
Para encontrar a velocidade mínima, consideramos a situação onde a força de atrito está resistindo a força centrípeta. A força total na direção horizontal será:
Substituindo
:
Simplificando:
Cancelando
e resolvendo para
:
Resposta
Assim, as velocidades máxima e mínima para o carro percorrer a curva sem derrapar são:
e