Uma curva, em uma auto-estrada, cujo raio de curvatura é , é inclinada num ângulo de teta com relação à horizontal. Se o coeficiente de atrito for , qual a velocidade máxima e velocidade mínima de um carro para percorrê-la sem derrapar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma curva numa autoestrada que está inclinada num ângulo com relação à horizontal e tem um raio de curvatura . Queremos encontrar as velocidades máxima e mínima que um carro pode ter para percorrer essa curva sem derrapar, considerando um coeficiente de atrito . Para resolver isso, vamos precisar entender as forças envolvidas na curva, como a força centrípeta, a força de atrito e a inclinação da estrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um carro faz uma curva, ele precisa de uma força centrípeta para manter a trajetória curva. Essa força é dada por:
onde:
  • é a massa do carro,
  • é a velocidade,
  • é o raio da curva.

Passo 3

Como a estrada está inclinada num ângulo , temos componentes das forças na direção horizontal e vertical. A força normal do solo age perpendicularmente à superfície inclinada, e a força de atrito atua paralelamente à superfície.

Passo 4

Vamos decompor as forças. Na direç��o vertical, o equilíbrio das forças nos dá:
onde é a aceleração da gravidade. Isso nos permite encontrar a força normal:

Passo 5

Agora, na direção horizontal, a força centrípeta necessária é fornecida pela componente da força normal e pela força de atrito. Dependendo da direção da atrito, podemos ter duas situações: atrito ajudando a fornecer a força centrípeta ou atrito resistindo a ela.

Passo 6

Para encontrar a velocidade máxima, consideramos a situação onde a força de atrito está ajudando a fornecer a força centrípeta. A força total na direção horizontal será:
Substituindo :
Simplificando:
Cancelando e resolvendo para :

Passo 7

Para encontrar a velocidade mínima, consideramos a situação onde a força de atrito está resistindo a força centrípeta. A força total na direção horizontal será:
Substituindo :
Simplificando:
Cancelando e resolvendo para :

Resposta

Assim, as velocidades máxima e mínima para o carro percorrer a curva sem derrapar são:
e

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