Uma curva, em uma auto-estrada, cujo raio de curvatura é r, é inclinada num ângulo theta de teta com relação à horizontal. Se o coeficiente de atrito for mus, qual a velocidade máxima e velocidade mínima de um carro para percorrê-la sem derrapar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma curva numa autoestrada que está inclinada num ângulo theta com relação à horizontal e tem um raio de curvatura r. Queremos encontrar as velocidades máxima e mínima que um carro pode ter para percorrer essa curva sem derrapar, considerando um coeficiente de atrito mus. Para resolver isso, vamos precisar entender as forças envolvidas na curva, como a força centrípeta, a força de atrito e a inclinação da estrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um carro faz uma curva, ele precisa de uma força centrípeta para manter a trajetória curva. Essa força é dada por:
Fc = m v^2r
onde:
  • m é a massa do carro,
  • v é a velocidade,
  • r é o raio da curva.

Passo 3

Como a estrada está inclinada num ângulo theta, temos componentes das forças na direção horizontal e vertical. A força normal N do solo age perpendicularmente à superfície inclinada, e a força de atrito f atua paralelamente à superfície.

Passo 4

Vamos decompor as forças. Na direç��o vertical, o equilíbrio das forças nos dá:
N costheta = m g
onde g é a aceleração da gravidade. Isso nos permite encontrar a força normal:
N = m gcostheta

Passo 5

Agora, na direção horizontal, a força centrípeta necessária é fornecida pela componente da força normal e pela força de atrito. Dependendo da direção da atrito, podemos ter duas situações: atrito ajudando a fornecer a força centrípeta ou atrito resistindo a ela.

Passo 6

Para encontrar a velocidade máxima, consideramos a situação onde a força de atrito está ajudando a fornecer a força centrípeta. A força total na direção horizontal será:
N sintheta + mus N costheta = m vmax^2r
Substituindo N:
m g sinthetacostheta + mus m gcostheta costheta = m vmax^2r
Simplificando:
m g tantheta + mus m g = m vmax^2r
Cancelando m e resolvendo para vmax:
vmax = raizr g (tantheta + mus)

Passo 7

Para encontrar a velocidade mínima, consideramos a situação onde a força de atrito está resistindo a força centrípeta. A força total na direção horizontal será:
N sintheta - mus N costheta = m vmin^2r
Substituindo N:
m g sinthetacostheta - mus m gcostheta costheta = m vmin^2r
Simplificando:
m g tantheta - mus m g = m vmin^2r
Cancelando m e resolvendo para vmin:
vmin = raizr g (tantheta - mus)

Resposta

Assim, as velocidades máxima e mínima para o carro percorrer a curva sem derrapar são:
vmax = raizr g (tantheta + mus)
e
vmin = raizr g (tantheta - mus)

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