(1.0) (d) Determine a energia dissipada no resistor R como função do tempo para t>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar a energia dissipada no resistor em função do tempo para . Isso está relacionado ao estudo de circuitos elétricos, especificamente como a energia é convertida em calor no resistor ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de corrente elétrica, potência e integração no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a potência dissipada em um resistor é dada por:
P(t) = I(t)^2 cdot R
onde é a corrente no resistor no tempo .

Passo 3

Para encontrar a energia dissipada, precisamos integrar a potência dissipada ao longo do tempo. Então, a energia W(t) = integral0^t P(t') , dt' = integral0^t I(t')^2 cdot R , dt' é:

Passo 4

Agora, precisamos expressar a corrente I(t) = V0R cdot e^-tRC . Supondo que estamos lidando com um circuito RC descarregando, a corrente no tempo é:
onde é a tensão inicial, e é a constante de tempo do circuito.

Passo 5

Substituindo W(t) = integral0^t ( V0R cdot e^-t'RC )^2 cdot R , dt' na expressão da energia dissipada:
W(t) = V0^2R integral0^t e^-2t'RC , dt'
Simplificando:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
integral e^-kt' , dt' = -1k e^-kt'
onde W(t) = V0^2R [ -RC2 e^-2t'RC ]0^t . Então:

Passo 7

Calculando os limites da integral:
W(t) = V0^2R ( -RC2 e^-2tRC + RC2 )
Simplificando:
W(t) = V0^22R ( 1 - e^-2tRC )

Resposta

A energia dissipada no resistor W(t) = V0^22R ( 1 - e^-2tRC ) em função do tempo para é:

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