.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a derivada de uma função , que é , e nos diz que o domínio dessa função é . Nosso objetivo aqui é encontrar a função a partir dessa derivada. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral, especialmente a ideia de antiderivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que se é a derivada de , então para encontrar , precisamos “integrar” . A integração é como a operação inversa da derivação. Então, vamos calcular:
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 3

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira integral:
Vamos fazer uma substituição simples: seja , então . Isso simplifica a integral para:
Segunda integral:

Passo 4

Agora, juntando as duas partes que integramos:
Onde é a constante de integração, que pode ser qualquer número real.

Resposta

A função é dada por:

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vale 0
Calcule as derivadas das funções a seguir (esclareça antes o domínio natural da função):
(d)
entre 0 e 45