Calcule as derivadas das funções a seguir (esclareça antes o domínio natural da função):
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função definida por uma integral:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Diferencial e Integral, mais precisamente com a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar integrais que têm os limites de integração dependentes da variável que estamos diferenciando, no caso, .

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio natural da função. Isso significa encontrar todos os valores de para os quais a expressão dentro da integral faz sentido.
A integranda é , que está definida para . Além disso, os limites de integração são e . Precisamos garantir que esteja dentro do domínio onde é válida durante todo o intervalo de integração.
Então, temos que:
  • (para que não seja indefinida no limite inferior).
  • => => (pois ).
Portanto, o domínio natural da função é excluindo .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra de Leibniz para derivar essa integral. A regra nos diz que se temos uma função definida como:
Sua derivada é:
No nosso caso:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas dos limites de integração:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da Regra de Leibniz:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Essa é a forma simplificada da derivada da função dada.

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da função quando é uma das funções a seguir ( é parte inteira de )
c) .
a) Encontre um exemplo de uma função limitada, tal que existe com a propriedade que
vale 0
.