(d) Qual é a razão sigma1 / sigma2 entre as densidades superficiais de carga das duas esferas?

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente precisa resolver aqui. A pergunta é sobre a razão entre as densidades superficiais de carga de duas esferas, ou seja, queremos descobrir quanto σ₁ é em relação a σ₂. Isso está ligado ao estudo de eletrostática, especificamente sobre como as cargas se distribuem em superfícies de condutores. Vamos precisar saber como calcular a densidade superficial de carga e entender como as cargas se comportam em esferas diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a densidade superficial de carga. A densidade superficial de carga, representada por σ, é a quantidade de carga elétrica distribuída por unidade de área de uma superfície. A fórmula para calcular σ é:
sigma = QA
Onde:
  • A = 4pi R^2 é a carga total na superfície.
  • é a área da superfície.
Para uma esfera com raio , a área é dada por:

Passo 3

Agora, vamos expressar a densidade superficial de carga para cada uma das duas esferas. Supondo que a primeira esfera tenha raio sigma1 = Q14pi R1^2 e carga sigma2 = Q24pi R2^2 , e a segunda esfera tenha raio e carga , temos:

Passo 4

Queremos encontrar a razão sigma1sigma2 = Q14pi R1^2Q24pi R2^2 = Q1Q2 times R2^2R1^2 . Vamos dividir por :

Passo 5

Para simplificar essa expressão, precisamos saber a relação entre V = Q4pi varepsilon0 R e Q1R1 = Q2R2 Rightarrow Q1 = Q2 times R1R2 . Se as duas esferas estiverem em equilíbrio elétrico, a carga se distribui de forma que o potencial nas duas seja igual. O potencial de uma esfera é dado por:
Igualando os potenciais:

Passo 6

Substituindo sigma1sigma2 = Q2 times R1R2Q2 times R2^2R1^2 = R1R2 times R2^2R1^2 = R2R1 na expressão da razão :

Resposta

A razão entre as densidades superficiais de carga das duas esferas é .

Exercícios relacionados