(D) Um resistor é formado por uma casca cilindrica condutora de resistividade rho, raio interno a, raio externo b e comprimento L. Suponha que uma corrente estacionária de intensidade I flui radialmente da superfície interna para a superfície externa da casca.
© Utilizando o campo determinado acima, determine a diferença de potencial entre as superfícies interna e externa da casca.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um resistor na forma de uma casca cilíndrica com resistividade rho, raio interno a, raio externo b e comprimento L. A corrente I está fluindo radialmente do interior para o exterior da casca. A nossa missão aqui é encontrar a diferença de potencial entre essas duas superfícies.
Para isso, a gente vai usar conceitos de campo elétrico e resistência em condução radial. Vamos precisar aplicar a Lei de Ohm para resistência elétrica e relacionar a resistência com a resistividade do material.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a diferença de potencial ( De) pode ser encontrada usando a relação:
De
onde R é a resistência elétrica do resistor.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a resistência R da casca cilíndrica. Para condução radial, a resistência de uma casca com espessura diferencial dr em um raio r é dada por:
dR = rho2pi r L dr
Aqui, rho é a resistividade, r é o raio no qual estamos calculando a resistência diferencial, L é o comprimento da casca, e 2pi r L é a área pela qual a corrente está fluindo.

Passo 4

Para encontrar a resistência total R, vamos integrar essa expressão de r = a até r = b:
R = integrala^b rho2pi r L dr

Passo 5

Fazendo a integral, temos:
R = rho2pi L integrala^b 1r dr = rho2pi L [ln r]a^b = rho2pi L (ln b - ln a) = rho2pi L ln(ba)

Passo 6

Agora que temos a resistência R, podemos voltar à fórmula da diferença de potencial:
De

Resposta

A diferença de potencial entre as superfícies interna e externa da casca é:
De

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