(D) Um resistor é formado por uma casca cilindrica condutora de resistividade
, raio interno
, raio externo
e comprimento
. Suponha que uma corrente estacionária de intensidade
flui radialmente da superfície interna para a superfície externa da casca.
(a) Determine a densidade de corrente em um ponto no interior da casca, a uma distância
do eixo
. Sugestão: Considere uma casca cilíndrica fina de raio
e comprimento
e mostre que a corrente que flui através dela é dada por
, para qualquer valor de
.
(a) Determine a densidade de corrente em um ponto no interior da casca, a uma distância
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre eletricidade, mais especificamente sobre corrente elétrica em uma casca cilíndrica. A questão diz que temos uma casca com resistividade
, raios interno
e externo
, e comprimento
. Uma corrente
está fluindo radialmente de dentro para fora. Nosso objetivo aqui é encontrar a densidade de corrente
em um ponto a uma distância
do eixo, onde
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de corrente elétrica e geometria cilíndrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a densidade de corrente
. Ela representa quanta corrente está passando por uma área por unidade de área. No nosso caso, queremos saber como essa corrente está distribuída ao longo da casca cilíndrica.
Passo 3
A sugestão do exercício é considerar uma casca cilíndrica fina de raio
e comprimento
. Imagine que essa casca é uma superfície imaginária dentro da nossa casca original, exatamente na distância
do eixo. A ideia é calcular quanto da corrente total
está passando por essa casca fininha.
Passo 4
A corrente que atravessa essa casca fininha pode ser calculada multiplicando a densidade de corrente
pela área dessa casca. A área de uma superfície cilíndrica é dada pela circunferência
vezes o comprimento
. Então, temos:
Passo 5
Agora, queremos isolar
para encontrar a densidade de corrente. Basta dividir ambos os lados da equação por
:
Resposta
A densidade de corrente a uma distância
do eixo é