(D) Um resistor é formado por uma casca cilindrica condutora de resistividade rho, raio interno a, raio externo b e comprimento L. Suponha que uma corrente estacionária de intensidade I flui radialmente da superfície interna para a superfície externa da casca.
(a) Determine a densidade de corrente em um ponto no interior da casca, a uma distância s do eixo (a. Sugestão: Considere uma casca cilíndrica fina de raio s e comprimento L e mostre que a corrente que flui através dela é dada por I=J(s) 2 pi s L, para qualquer valor de s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema sobre eletricidade, mais especificamente sobre corrente elétrica em uma casca cilíndrica. A questão diz que temos uma casca com resistividade , raios interno e externo , e comprimento . Uma corrente está fluindo radialmente de dentro para fora. Nosso objetivo aqui é encontrar a densidade de corrente em um ponto a uma distância do eixo, onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de corrente elétrica e geometria cilíndrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a densidade de corrente . Ela representa quanta corrente está passando por uma área por unidade de área. No nosso caso, queremos saber como essa corrente está distribuída ao longo da casca cilíndrica.

Passo 3

A sugestão do exercício é considerar uma casca cilíndrica fina de raio e comprimento . Imagine que essa casca é uma superfície imaginária dentro da nossa casca original, exatamente na distância do eixo. A ideia é calcular quanto da corrente total está passando por essa casca fininha.

Passo 4

A corrente que atravessa essa casca fininha pode ser calculada multiplicando a densidade de corrente I = J(s) times 2pi s L pela área dessa casca. A área de uma superfície cilíndrica é dada pela circunferência vezes o comprimento . Então, temos:

Passo 5

Agora, queremos isolar J(s) = I2pi s L para encontrar a densidade de corrente. Basta dividir ambos os lados da equação por :

Resposta

A densidade de corrente a uma distância J(s) = I2pi s L do eixo é

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