(d) Considerando a energia como função da temperatura e do volume,
, mostre que para um gás ideal a sua diferencial total é simplesmente
, onde
é a capacidade térmica a volume constante. Combinando este resultado com a primeira lei da termodinâmica
e a definição de entropia (
, ou
, deduza e expressão dada acima para a direncial da entropia.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma expressão para a diferencial da entropia
em termos de
e
. A questão quer que a gente mostre que, para um gás ideal, a variação total da energia
depende apenas de
e é igual a
, onde
é a capacidade térmica a volume constante. Depois, combinamos isso com a primeira lei da termodinâmica e a definição de entropia para chegar na expressão dada para
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a energia interna
depende apenas da temperatura
e não do volume
. Isso significa que podemos escrever
. Então, a diferencial total de
em relação a
e
é:
Mas como
não depende de
para um gás ideal, o termo
é zero. Portanto, ficamos com:
Passo 3
A definição da capacidade térmica a volume constante
é exatamente essa derivada parcial:
Substituindo na equação anterior, temos:
Então, mostramos que
depende apenas de
e é igual a
para um gás ideal.
Passo 4
Agora, vamos usar a primeira lei da termodinâmica, que diz:
Aqui,
é o calor trocado e
é o trabalho realizado pelo sistema.
Passo 5
Para um processo reversível, podemos relacionar o calor trocado com a entropia usando a definição de entropia:
Isso significa que o calor reversível é:
Passo 6
No caso de um gás ideal realizando trabalho de expansão ou compressão a pressão constante, o trabalho realizado é:
Para um gás ideal, a pressão
pode ser expressa pela equação de estado:
Então, substituindo
na expressão do trabalho:
Passo 7
Voltando à primeira lei da termodinâmica:
Substituindo
e
:
Passo 8
Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Assim, mostramos que a diferencial da entropia para um gás ideal é: