d S=d Q rev T=CVT d T+n RV d V
(d) Considerando a energia como função da temperatura e do volume, E=E(T, V), mostre que para um gás ideal a sua diferencial total é simplesmente d E=CV d T, onde CV=(partial Epartial T)V é a capacidade térmica a volume constante. Combinando este resultado com a primeira lei da termodinâmica (d E=d Q+d W) e a definição de entropia ( d S=d Qr e v / T, ou d Qr e v=T d S), deduza e expressão dada acima para a direncial da entropia.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma expressão para a diferencial da entropia em termos de e . A questão quer que a gente mostre que, para um gás ideal, a variação total da energia depende apenas de e é igual a , onde é a capacidade térmica a volume constante. Depois, combinamos isso com a primeira lei da termodinâmica e a definição de entropia para chegar na expressão dada para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a energia interna dE = (partial Epartial T)V dT + (partial Epartial V)T dV depende apenas da temperatura dE = (partial Epartial T)V dT e não do volume . Isso significa que podemos escrever . Então, a diferencial total de em relação a e é:
Mas como não depende de para um gás ideal, o termo é zero. Portanto, ficamos com:

Passo 3

A definição da capacidade térmica a volume constante CV = (partial Epartial T)V é exatamente essa derivada parcial:
dE = CV dT
Substituindo na equação anterior, temos:
Então, mostramos que depende apenas de e é igual a para um gás ideal.

Passo 4

Agora, vamos usar a primeira lei da termodinâmica, que diz:
dE = dQ + dW
Aqui, é o calor trocado e é o trabalho realizado pelo sistema.

Passo 5

Para um processo reversível, podemos relacionar o calor trocado com a entropia usando a definição de entropia:
dS = dQrevT
Isso significa que o calor reversível é:
dQrev = T dS

Passo 6

No caso de um gás ideal realizando trabalho de expansão ou compressão a pressão constante, o trabalho realizado é:
dW = P dV
Para um gás ideal, a pressão P V = n R T pode ser expressa pela equação de estado:
dW = n R TV dV
Então, substituindo na expressão do trabalho:

Passo 7

Voltando à primeira lei da termodinâmica:
dE = dQrev - dW
Substituindo CV dT = T dS - n R TV dV e :

Passo 8

Vamos rearranjar a equação para isolar T dS = CV dT + n R TV dV :
dS = CVT dT + n RV dV
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

Assim, mostramos que a diferencial da entropia para um gás ideal é:
dS = CVT dT + n RV dV

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