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Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado está dizendo que a soma dos produtos dos termos $ x_i $ e $ y_i $ para $ i $ de 1 até $ n $ não é igual ao produto das somas de $ x_i $ e $ y_i $ separadamente. Ou seja:
Vamos explorar por quê isso acontece, usando conceitos de álgebra e propriedades de somas e produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada lado da desigualdade representa.
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Lado Esquerdo ($ \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} $): Aqui, estamos multiplicando cada par de termos $ x_i $ e $ y_i $ e somando todos esses produtos. É como calcular o produto de vetores ponto a ponto.
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Lado Direito ($ \left( \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right) \left( \sum_{i=1}^{n} y_{i} \right) $): Nesse caso, primeiro somamos todos os $ x_i $ e todos os $ y_i $ separadamente e depois multiplicamos essas duas somas.
Passo 3
Para ver por que eles não são iguais na maioria das vezes, vamos considerar um exemplo simples com $ n = 2 $:
Suponha que:
Calculando cada lado:
- Lado Esquerdo:
- Lado Direito:
Claramente, $ 11 \neq 21 $, então a desigualdade se mantém.
Passo 4
O que aconteceu aqui? Quando multiplicamos e somamos individualmente ($ x_i y_i $), estamos capturando apenas as interações diretas entre cada par $ (x_i, y_i)
\sum x_i \times \sum y_i $), estamos incluindo todas as possíveis combinações de multiplicação entre os termos de $ x $ e $ y $, o que geralmente resulta em um valor maior.
Passo 5
A única situação em que $ \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} $ seria igual a $ \left( \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right) \left( \sum_{i=1}^{n} y_{i} \right) $ é quando todos os termos, exceto um par correspondente, são zero. Isso significa que, na maioria dos casos práticos, a desigualdade é verdadeira.
Resposta
Portanto, em geral, a soma dos produtos $ \sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} $ não é igual ao produto das somas $ \left( \sum_{i=1}^{n} x_{i} \right) \left( \sum_{i=1}^{n} y_{i} \right) $.