Explique o significado geométrico deste resultado e encontre uma relação similar entre a área de um círculo e o comprimento de sua circunferência.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está nos dizendo. Temos a equação:
Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente derivadas, e geometria. Nosso objetivo é entender o significado geométrico dessa equação e encontrar uma relação similar entre a área de um círculo e o comprimento de sua circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação dada:
Isso significa que a derivada do volume
de uma esfera em relação ao seu raio
é igual a
, que é a área da superfície da esfera, representada por
. Geometricamente, isso nos diz que, se aumentarmos o raio de uma esfera um pouquinho, a taxa com que o volume aumenta é igual à área da superfície dessa esfera.
Para entender melhor, imagine que você está inflando uma bola. A quantidade de ar que você adiciona (aumento de volume) está diretamente relacionada à área da superfície que está expandindo.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma relação similar para um círculo. Sabemos que a área
de um círculo é dada por:
Vamos calcular a derivada da área em relação ao raio
:
Essa derivada
representa o comprimento da circunferência
do círculo, pois sabemos que:
Resposta
A derivada do volume de uma esfera em relação ao seu raio nos dá a área da superfície da esfera, mostrando como o volume aumenta com o raio. De maneira similar, a derivada da área de um círculo em relação ao seu raio resulta no comprimento da circunferência. Portanto, temos que: