Utilize o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
E precisamos determinar se essa série converge ou diverge utilizando o Teste da Integral. Para isso, vamos precisar conhecer o Teste da Integral e saber como aplicá-lo a essa série.
Passo 2
O Teste da Integral é uma ferramenta que nos ajuda a verificar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral correspondente. A regra geral é:
Se
é uma função positiva, contínua e decrescente para
(com
um número natural), então a série
e a integral
convergem ou divergem juntas.
Passo 3
Vamos identificar a função
correspondente à nossa série:
Precisamos verificar se
é positiva, contínua e decrescente para
.
- Positiva: Para
, , então . - Contínua:
é contínua para . - Decrescente: A derivada de
é negativa para (uma análise detalhada confirma que é decrescente a partir de certo ponto).
Portanto, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos usar:
Passo 5
Substituindo na integral:
Integrando
:
Passo 6
Voltando para a variável original
:
Agora, avaliamos o limite da integral de
a
:
Quando
,
, então:
Portanto, a integral converge para:
Passo 7
Como a integral
converge, pelo Teste da Integral, a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente pelo Teste da Integral.