Utilize o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
E precisamos determinar se essa série converge ou diverge utilizando o Teste da Integral. Para isso, vamos precisar conhecer o Teste da Integral e saber como aplicá-lo a essa série.

Passo 2

O Teste da Integral é uma ferramenta que nos ajuda a verificar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral correspondente. A regra geral é:
Se é uma função positiva, contínua e decrescente para (com um número natural), então a série e a integral convergem ou divergem juntas.

Passo 3

Vamos identificar a função correspondente à nossa série:
Precisamos verificar se é positiva, contínua e decrescente para .
  • Positiva: Para , , então .
  • Contínua: é contínua para .
  • Decrescente: A derivada de é negativa para (uma análise detalhada confirma que é decrescente a partir de certo ponto).
Portanto, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos usar:

Passo 5

Substituindo na integral:
Integrando :

Passo 6

Voltando para a variável original :
Agora, avaliamos o limite da integral de a :
Quando , , então:
Portanto, a integral converge para:

Passo 7

Como a integral
converge, pelo Teste da Integral, a série
também converge.

Resposta

A série é convergente pelo Teste da Integral.

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a. Construa uma distribuição de frequência
Explique o significado geométrico deste resultado e encontre uma relação similar entre a área de um círculo e o comprimento de sua circunferência.
Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa:
ã
(a) (equação de Hermite, oscilador harmônico quântico-mecânico)
(b) (vibrações mecânicas, circuitos elétricos, sismologia)
© (Equação de Laplace, teoria do potencial, eletricidade, calor, aerodinâmica)
(d) (competição entre duas espécies, ecologia)
(e) , onde é uma constante (taxas de reação química)
(f) (equação de Kidder, fluxo de gases por um meio poroso)
(g) , onde e são constantes (curva logística, epidemiologia, economia)
(h) (deflexão de feixes)
(i) (aerodinâmica, análise de estresse)