Utilize o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente. sumn=2^infty 1n ln ^3(n)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
sumn=2^infty 1n ln^3(n)
E precisamos determinar se essa série converge ou diverge utilizando o Teste da Integral. Para isso, vamos precisar conhecer o Teste da Integral e saber como aplicá-lo a essa série.

Passo 2

O Teste da Integral é uma ferramenta que nos ajuda a verificar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral correspondente. A regra geral é:
Se é uma função positiva, contínua e decrescente para (com um número natural), então a série e a integral convergem ou divergem juntas.

Passo 3

Vamos identificar a função f(x) = 1x ln^3(x) correspondente à nossa série:
Precisamos verificar se é positiva, contínua e decrescente para .
  • Positiva: Para , , então .
  • Contínua: é contínua para .
  • Decrescente: A derivada de é negativa para (uma análise detalhada confirma que é decrescente a partir de certo ponto).
Portanto, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
integral2^infty 1x ln^3(x) , dx
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos usar:
u = ln(x) Rightarrow du = 1x dx

Passo 5

Substituindo na integral:
integral 1x ln^3(x) , dx = integral 1u^3 , du = integral u^-3 , du
Integrando integral u^-3 , du = u^-2-2 + C = -12u^2 + C :

Passo 6

Voltando para a variável original -12u^2 + C = -12 ln^2(x) + C :
limb to infty [ -12 ln^2(b) + 12 ln^2(2) ]
Agora, avaliamos o limite da integral de -12 ln^2(b) to 0 a 12 ln^2(2) :
Quando , , então:
Portanto, a integral converge para:

Passo 7

Como a integral
integral2^infty 1x ln^3(x) , dx
converge, pelo Teste da Integral, a série
sumn=2^infty 1n ln^3(n)
também converge.

Resposta

A série é convergente pelo Teste da Integral.

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