Utilize o teste da integral para determinar se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
E precisamos determinar se essa série converge ou diverge utilizando o Teste da Integral. Para isso, vamos precisar conhecer o Teste da Integral e saber como aplicá-lo a essa série.
Passo 2
O Teste da Integral é uma ferramenta que nos ajuda a verificar a convergência ou divergência de uma série infinita comparando-a com uma integral correspondente. A regra geral é:
Se
é uma função positiva, contínua e decrescente para
(com
um número natural), então a série
e a integral
convergem ou divergem juntas.
Passo 3
Vamos identificar a função
correspondente à nossa série:
Precisamos verificar se
é positiva, contínua e decrescente para
.
- Positiva: Para
, , então . - Contínua:
é contínua para . - Decrescente: A derivada de
é negativa para (uma análise detalhada confirma que é decrescente a partir de certo ponto).
Portanto, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Vamos usar:
Passo 5
Substituindo na integral:
Integrando
:
Passo 6
Voltando para a variável original
:
Agora, avaliamos o limite da integral de
a
:
Quando
,
, então:
Portanto, a integral converge para:
Passo 7
Como a integral
converge, pelo Teste da Integral, a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente pelo Teste da Integral.
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a. Construa uma distribuição de frequência
a. Construa uma distribuição de frequência
Explique o significado geométrico deste resultado e encontre uma relação similar entre a área de um círculo e o comprimento de sua circunferência.
Decida se a proposição abaixo é verdadeira ou falsa:
(a)
(equação de Hermite, oscilador harmônico quântico-mecânico)
(b) (vibrações mecânicas, circuitos elétricos, sismologia)
© (Equação de Laplace, teoria do potencial, eletricidade, calor, aerodinâmica)
(d) (competição entre duas espécies, ecologia)
(e) , onde
é uma constante (taxas de reação química)
(f) (equação de Kidder, fluxo de gases por um meio poroso)
(g) , onde
e
são constantes (curva logística, epidemiologia, economia)
(h) (deflexão de feixes)
(i) (aerodinâmica, análise de estresse)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)