Se
, explique por que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a derivada de
em relação a
é igual a
vezes
. Ou seja:
Esse problema está na área de Equações Diferenciais, especificamente tratando de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como resolver equações diferenciais simples onde a taxa de variação de uma função é proporcional a ela mesma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa equação está nos dizendo. A equação:
indica que a taxa de variação de
ao longo do tempo
é proporcional a
multiplicada por
. Isso sugere que a solução terá uma forma exponencial, já que esse tipo de relação é característica de crescimento ou decrescimento exponencial.
Passo 3
A próxima etapa é resolver a equação diferencial. Para equações da forma:
a solução geral é:
onde
é o valor inicial de
quando
, e
é a constante de proporcionalidade.
Passo 4
No nosso caso,
. Então, substituindo na solução geral, temos:
Lembrando que
, podemos simplificar
para
. Então:
Passo 5
Agora, queremos encontrar
, ou seja, o valor de
quando
. Substituindo
na equação:
Resposta
Portanto, quando
, temos que
.