Se d y / d t = (ln 2) y, explique por que y(1) = 2 y(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que a derivada de em relação a é igual a vezes . Ou seja:
Esse problema está na área de Equações Diferenciais, especificamente tratando de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como resolver equações diferenciais simples onde a taxa de variação de uma função é proporcional a ela mesma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa equação está nos dizendo. A equação:
indica que a taxa de variação de ao longo do tempo é proporcional a multiplicada por . Isso sugere que a solução terá uma forma exponencial, já que esse tipo de relação é característica de crescimento ou decrescimento exponencial.

Passo 3

A próxima etapa é resolver a equação diferencial. Para equações da forma:
a solução geral é:
onde é o valor inicial de quando , e é a constante de proporcionalidade.

Passo 4

No nosso caso, . Então, substituindo na solução geral, temos:
Lembrando que , podemos simplificar para . Então:

Passo 5

Agora, queremos encontrar , ou seja, o valor de quando . Substituindo na equação:

Resposta

Portanto, quando , temos que .

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