Começando com
, encontre a solução para
no tempo
. Começando com que
, resolva
até o tempo
. Desenhe um gráfico aproximado de
de
a
. O que isso diz sobre
vezes
? Sug. Resolver primeiro no intervalo
onde
. A continuação resolver no intervalo
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente começa com a condição inicial
e precisa resolver a equação diferencial
no intervalo de tempo de
até
. Depois, usando o valor de
, a gente resolve outra equação diferencial
de
até
. Ao final, vamos desenhar um gráfico de
de
a
e interpretar o que significa
vezes
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais simples e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
de
até
. Essa é uma equação diferencial simples onde a taxa de variação de
em relação a
é proporcional a
mesmo. A solução geral dessa equação é
, onde
é uma constante.
Passo 3
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
. Substituindo na solução geral:
Então, a solução no intervalo
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular
substituindo
na solução encontrada:
Passo 5
Com
, vamos resolver a segunda equação diferencial
no intervalo de
até
. A solução geral dessa equação é
.
Passo 6
Para encontrar a nova constante
, usamos a condição
. Substituindo na solução geral:
Então, a solução no intervalo
é:
Passo 7
Agora, vamos resumir as soluções encontradas:
- Para
:
- Para
:
Passo 8
Vamos fazer um gráfico aproximado de
de
a
. De
a
,
cresce exponencialmente de 1 até
. De
a
,
decai exponencialmente de
até
.
Passo 9
Por fim, a questão pergunta sobre
vezes
. Se multiplicarmos
por
, temos:
Isso mostra que o crescimento e a decaimento exponencial se anulam, retornando ao valor inicial.
Resposta
A solução de
de
a
é
, e de
a
é
. O gráfico de
vai de 1 até
e depois volta para 1. Além disso,
.