Começando com y(0) = 1, encontre a solução para d y / d t = y no tempo t = 1. Começando com que y(1), resolva dy/dt = -y até o tempo t = 2. Desenhe um gráfico aproximado de y(t) de t = 0 a t = 2. O que isso diz sobre e^-1 vezes e ? Sug. Resolver primeiro no intervalo 0 <= t <= 1 onde y' = y. A continuação resolver no intervalo 1 <= t <= 2 onde y' = -y.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente começa com a condição inicial e precisa resolver a equação diferencial no intervalo de tempo de até . Depois, usando o valor de , a gente resolve outra equação diferencial de até . Ao final, vamos desenhar um gráfico de de a e interpretar o que significa vezes . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais simples e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial de até . Essa é uma equação diferencial simples onde a taxa de variação de em relação a é proporcional a mesmo. A solução geral dessa equação é , onde é uma constante.

Passo 3

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial . Substituindo na solução geral:
Então, a solução no intervalo é:

Passo 4

Agora, vamos calcular substituindo na solução encontrada:

Passo 5

Com , vamos resolver a segunda equação diferencial no intervalo de até . A solução geral dessa equação é .

Passo 6

Para encontrar a nova constante , usamos a condição . Substituindo na solução geral:
Então, a solução no intervalo é:

Passo 7

Agora, vamos resumir as soluções encontradas:
  • Para :
  • Para :

Passo 8

Vamos fazer um gráfico aproximado de de a . De a , cresce exponencialmente de 1 até . De a , decai exponencialmente de até .

Passo 9

Por fim, a questão pergunta sobre vezes . Se multiplicarmos por , temos:
Isso mostra que o crescimento e a decaimento exponencial se anulam, retornando ao valor inicial.

Resposta

A solução de de a é , e de a é . O gráfico de vai de 1 até e depois volta para 1. Além disso, .

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