dy/dx = (-2x + y)^2 -
7, y(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
E uma condição inicial: . Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituições em equações diferenciais e integração de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição. Vamos definir . Isso ajuda a eliminar o termo da equação original.
Então:
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando dentro do parêntese:
Então:
Isolando :

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial separável:
Podemos separar as variáveis e :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma fração racional, que podemos resolver por frações parciais:
Sabemos que:
Aqui, , então:

Passo 6

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 6:
Onde . Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante.

Passo 7

Podemos resolver para agora:
Resolvendo para :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 9

Agora usamos a condição inicial para encontrar :

Passo 10

Substituindo na expressão de :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Nos exercícios 2 a 15: a) determine os traços; b) determine as seções; c) identifique a superfície quádrica; d) esboce seu gráfico. Escreva a equação da superfície de pontos P = (x, y, z) tais que a distância de P ao ponto (0, 0, 1) é a mesma do que a de P ao plano y = -1. Identifique a superfície.
Estude a convergência da integral imprópria integral1^+infty 1x^p d x, onde p é um número real qualquer.
Resolva as equações diferenciais abaixo: x d x/d y = 4 y
Resolva as equações diferenciais abaixo: (x^2 - 9) dy/dx + x y = 0