Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
E uma condição inicial: . Vamos resolver essa equação passo a passo. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituições em equações diferenciais e integração de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação usando uma substituição. Vamos definir . Isso ajuda a eliminar o termo da equação original.
Então:
Derivando ambos os lados em relação a :
Passo 3
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando dentro do parêntese:
Então:
Isolando :
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial separável:
Podemos separar as variáveis e :
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma fração racional, que podemos resolver por frações parciais:
Sabemos que:
Aqui, , então:
Passo 6
Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 6:
Onde . Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo: