Resolva as equações diferenciais abaixo: (x^2 - 9) dy/dx + x y = 0

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver essa equação diferencial que é: . A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear. Para isso, dividimos todos os termos por , ficando assim:
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes que vamos usar para encontrar o fator integrante.

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma equação linear da forma , onde e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular essa integral.

Passo 4

Calculando a integral de P(x):
Fazemos uma substituição: seja , então , ou seja, . Assim, a integral fica:
Então, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 6

A equação agora é:
Integrando ambos os lados em relação a x:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isolamos y para encontrar a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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