Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver essa equação diferencial que é:
. A matéria que estamos usando aqui é Equações Diferenciais, mais especificamente uma equação linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear. Para isso, dividimos todos os termos por
, ficando assim:
Isso nos ajuda a identificar os coeficientes que vamos usar para encontrar o fator integrante.
Passo 3
Agora, identificamos que essa é uma equação linear da forma
, onde
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular essa integral.
Passo 4
Calculando a integral de
:
Fazemos uma substituição: seja
, então
, ou seja,
. Assim, a integral fica:
Então, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso transforma a equação em uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 6
A equação agora é:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isolamos
para encontrar a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Resolva as equações diferenciais abaixo:
Resolva as equações diferenciais abaixo: