Nos exercícios 2 a 15: a) determine os traços; b) determine as seções; c) identifique a superfície quádrica; d) esboce seu gráfico. Escreva a equação da superfície de pontos P = (x, y, z) tais que a distância de P ao ponto (0, 0, 1) é a mesma do que a de P ao plano y = -1. Identifique a superfície.

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma superfície formada por todos os pontos que estão à mesma distância do ponto e do plano . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre pontos e entre ponto e plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância de até o ponto . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando isso, a distância é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância de até o plano . A fórmula da distância de um ponto a um plano da forma é:
O plano pode ser escrito como . Assim, , , e . Aplicando a fórmula:

Passo 4

De acordo com o enunciado, essas duas distâncias são iguais, então temos:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos:
Simplificando, podemos cancelar e dos dois lados:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para isolar :
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 7

Podemos completar o quadrado para a variável para deixar a equação mais clara:

Passo 8

Portanto, a equação final da superfície é:

Resposta

A equação da superfície é:
Essa superfície é um paraboloide elíptico deslocado ao longo do eixo .

Exercícios relacionados

Estude a convergência da integral imprópria integral1^+infty 1x^p d x, onde p é um número real qualquer.
Calcule, se existir, a área das regiōes abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
(i) y = 1 / (x^2 - x - 2), de 0 <= x <= 4
dy/dx = (-2x + y)^2 -
7, y(0)=0
Resolva as equações diferenciais abaixo: x d x/d y = 4 y