Nos exercícios 2 a 15: a) determine os traços; b) determine as seções; c) identifique a superfície quádrica; d) esboce seu gráfico. Escreva a equação da superfície de pontos
tais que a distância de
ao ponto
é a mesma do que a de
ao plano
. Identifique a superfície.
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de uma superfície formada por todos os pontos
que estão à mesma distância do ponto
e do plano
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre pontos e entre ponto e plano.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância de
até o ponto
. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso, a distância é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância de
até o plano
. A fórmula da distância de um ponto
a um plano da forma
é:
O plano
pode ser escrito como
. Assim,
,
,
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 4
De acordo com o enunciado, essas duas distâncias são iguais, então temos:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos:
Simplificando, podemos cancelar
e
dos dois lados:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para isolar
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 7
Podemos completar o quadrado para a variável
para deixar a equação mais clara:
Passo 8
Portanto, a equação final da superfície é:
Resposta
A equação da superfície é:
Essa superfície é um paraboloide elíptico deslocado ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
Estude a convergência da integral imprópria
, onde
é um número real qualquer.
Calcule, se existir, a área das regiōes abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(i) , de
(i)
Resolva as equações diferenciais abaixo: