Passo 1
Estamos resolvendo uma equação diferencial do tipo
, com a condição inicial
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente técnicas de separação de variáveis, para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial para separar as variáveis
e
. Podemos fatorar
no denominador:
Passo 3
Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por
para isolar
:
Passo 4
Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a
e do lado direito em relação a
:
Passo 5
Calculando as integrais:
- Do lado esquerdo:
- Do lado direito, fazemos uma substituição
, então :
Passo 6
Igualando as duas integrais e combinando as constantes:
Passo 7
Vamos resolver para
multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 8
Usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Passo 9
Substituímos
de volta na equação:
Passo 10
Finalmente, resolvemos para
tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Expresse os números
e
em termos de
.
Mude a ordem de integração e calcule o valor de
.
Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições dadas.
Expresse
em termos de
.