d y/d x = 2 x/(y + x^2 y) ; y(0) = 4

Passo 1

Estamos resolvendo uma equação diferencial do tipo , com a condição inicial . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente técnicas de separação de variáveis, para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação diferencial para separar as variáveis y e x. Podemos fatorar y no denominador:

Passo 3

Agora, multiplicamos ambos os lados da equação por y para isolar :

Passo 4

Com as variáveis separadas, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo em relação a y e do lado direito em relação a x:

Passo 5

Calculando as integrais:
  • Do lado esquerdo:
  • Do lado direito, fazemos uma substituição , então :

Passo 6

Igualando as duas integrais e combinando as constantes:

Passo 7

Vamos resolver para y^2 multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo x = 0 e :

Passo 9

Substituímos de volta na equação:

Passo 10

Finalmente, resolvemos para y tirando a raiz quadrada dos dois lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Expresse os números y, s e u em termos de x.
Mude a ordem de integração e calcule o valor de integral-2^4 integraly^2-62^y+1 x y d x d y.
Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições dadas.
d y/d x = x^2 y^4 ; y(1) = 1
Expresse n2 em termos de N.