Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições dadas.
d y/d x = x^2 y^4 ; y(1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial com a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais separáveis. Precisamos separar as variáveis e para poder integrar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Dividimos ambos os lados da equação por e multiplicamos por para isolar de um lado e do outro:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é usar a integração para encontrar uma relação entre e .

Passo 4

Vamos calcular as integrais. A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:

Passo 5

Igualando as integrais e juntando as constantes e em uma constante geral , temos:

Passo 6

Vamos simplificar a equação multiplicando todos os termos por para facilitar:

Passo 7

Agora, isolamos para encontrar a expressão em termos de :

Passo 8

Precisamos determinar a constante usando a condição inicial . Substituímos e na equação:

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

d y/d x = 2 x/(y + x^2 y) ; y(0) = 4
Expresse os números y, s e u em termos de x.
Expresse n2 em termos de N.
Resolver o problema de valor inicial:
y' - x^2 = x, y(0) = 1
Resp. y = (x^3)/3 + (x^2)/2 + 1