Determinar a solução particular de cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais separáveis. Precisamos separar as variáveis
e
para poder integrar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Dividimos ambos os lados da equação por
e multiplicamos por
para isolar
de um lado e
do outro:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é usar a integração para encontrar uma relação entre
e
.
Passo 4
Vamos calcular as integrais. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Passo 5
Igualando as integrais e juntando as constantes
e
em uma constante geral
, temos:
Passo 6
Vamos simplificar a equação multiplicando todos os termos por
para facilitar:
Passo 7
Agora, isolamos
para encontrar a expressão em termos de
:
Passo 8
Precisamos determinar a constante
usando a condição inicial
. Substituímos
e
na equação:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
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Expresse os números
e
em termos de
.
Expresse
em termos de
.
Resolver o problema de valor inicial:
Resp.
Resp.