Mude a ordem de integração e calcule o valor de integral-2^4 integraly^2-62^y+1 x y d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mudar a ordem de integração e calcular o valor da integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e depois calcular a integral resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Atualmente, estamos integrando com variando de a e, para cada , varia de até . Para mudar a ordem, precisamos reescrever os limites de integração com como a variável externa.

Passo 3

Vamos encontrar os limites de y^2 = 2x + 6 implies y = pm raiz2x + 6 . Observando os limites atuais:
  • y >= x - 1
Queremos expressar em termos de . Vamos resolver para :
Isso nos dá variando entre e .
Além disso, de , isolando , temos:
Portanto, para cada , varia de até .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de y^2 - 6 = 2y + 2 implies y^2 - 2y - 8 = 0 . Vamos achar os valores de y = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm 62 implies y = 4 ou y = -2 onde as curvas se interceptam. Igualando x = 4 + 1 = 5 :
x = -2 + 1 = -1
Resolvendo a equação quadrática:
Substituindo em :
Substituindo em :
Então, varia de a .

Passo 5

Com todos os limites determinados, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
integral-1^5 integralx - 1^raiz2x + 6 x y , dy , dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral interna em relação a integralx - 1^raiz2x + 6 x y , dy = x [ y^22 ]x - 1^raiz2x + 6 = x ( (raiz2x + 6)^22 - (x - 1)^22 ) :
x ( 2x + 62 - x^2 - 2x + 12 ) = x ( x + 3 - x^22 + x - 12 ) = x ( -x^22 + 2x + 52 )
Simplificando:
-x^32 + 2x^2 + 5x2
Distribuindo:

Passo 7

Agora, integramos essa expressão em relação a integral-1^5 ( -x^32 + 2x^2 + 5x2 ) dx = -12 [ x^44 ]-1^5 + 2 [ x^33 ]-1^5 + 52 [ x^22 ]-1^5 de -18 (5^4 - (-1)^4) + 23 (5^3 - (-1)^3) + 54 (5^2 - (-1)^2) = -18 (625 - 1) + 23 (125 + 1) + 54 (25 - 1) a -6248 + 2523 + 1204 = -78 + 84 + 30 = 36 :
Calculando cada termo:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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