Mude a ordem de integração e calcule o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mudar a ordem de integração e calcular o valor da integral dupla
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e depois calcular a integral resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Atualmente, estamos integrando com
variando de
a
e, para cada
,
varia de
até
. Para mudar a ordem, precisamos reescrever os limites de integração com
como a variável externa.
Passo 3
Vamos encontrar os limites de
. Observando os limites atuais:
Queremos expressar
em termos de
. Vamos resolver
para
:
Isso nos dá
variando entre
e
.
Além disso, de
, isolando
, temos:
Portanto, para cada
,
varia de
até
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de
. Vamos achar os valores de
onde as curvas se interceptam. Igualando
:
Resolvendo a equação quadrática:
Substituindo
em
:
Substituindo
em
:
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Com todos os limites determinados, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral interna em relação a
:
Simplificando:
Distribuindo:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão em relação a
de
a
:
Calculando cada termo:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Expresse
em termos de
.
Calcule as seguintes integrais duplas.
.
Expresse os números
e
em termos de
.