Dada a_n determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
c

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido. Precisamos analisar a sequência definida por . Nosso objetivo é determinar se essa sequência é crescente ou decrescente e se ela é limitada acima ou abaixo. Para isso, vamos usar conceitos de crescimento de sequências e suas limitações.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Para isso, comparamos o termo geral com o próximo termo :
Agora, calculamos a diferença :
Sabemos que o cosseno varia entre -1 e 1, então varia entre -2 e 2. Portanto, a diferença pode variar entre 0 e 4.
Como o mínimo de é 0 e o máximo é 4, concluímos que a sequência é crescente ou constante, mas nunca decrescente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada acima ou abaixo.
Observamos que está sempre entre -1 e 1, então:
Portanto:
Como cresce sem limite conforme aumenta, a sequência também cresce sem limite. Isso significa que a sequência não é limitada acima nem abaixo, ou seja, tende ao infinito.

Resposta

A sequência é crescente e não possui limites superiores ou inferiores, ou seja, cresce indefinidamente.

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