Dada
determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$(a)
$(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a sequência
. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência está aumentando ou diminuindo à medida que
cresce. Além disso, queremos saber se ela tem algum limite superior ou inferior, ou seja, se existe algum número que nunca seja ultrapassado pela sequência, seja para cima ou para baixo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências crescentes e decrescentes e sobre seqüências limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a sequência é crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo for maior que o termo anterior, ou seja, se
para todo
. Por outro lado, é decrescente se cada termo for menor que o anterior, ou seja,
para todo
.
Vamos calcular
e comparar com
:
Agora, vamos ver se
:
Então, cada termo da sequência é maior que o anterior. Portanto, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada superior ou inferiormente. Uma sequência é limitada inferiormente se existe um número que seja menor ou igual a todos os termos da sequência. É limitada superiormente se existe um número que seja maior ou igual a todos os termos.
Primeiro, vamos olhar para baixo. Como
começa a partir de 1 (já que estamos falando de sequência para
), temos:
E como a sequência é crescente, todos os termos seguintes serão maiores que 1. Portanto, o número 1 é um limite inferior da sequência.
Agora, para o limite superior. Como a raiz quadrada de
aumenta sem limite à medida que
cresce, não existe um número que seja maior ou igual a todos os termos da sequência. Ou seja, a sequência não é limitada superiormente.
Resposta
A sequência
é crescente e limitada inferiormente pelo número 1, mas não é limitada superiormente.
Exercícios relacionados
Resolva a edo linear homogênea com coeficientes constantes.
Dada
determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$(b)
$(b)
Dada
determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$©
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