Dada
determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$(b)
$(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por
. Precisamos determinar se essa sequência é crescente ou decrescente e se ela é limitada superior ou inferiormente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de sequências, como derivadas para funções contínuas que ajudam a entender o comportamento das sequências, e propriedades dos limites.
Passo 2
Vamos começar observando a expressão da sequência:
. Sabemos que
é uma função exponencial decrescente, já que a base
elevada a um número negativo diminui conforme
cresce. Por outro lado,
é uma função linear crescente. Então, estamos lidando com o produto de uma função crescente e uma função decrescente.
Passo 3
Para determinar se a sequência é crescente ou decrescente, calculamos a diferença entre termos consecutivos, ou seja,
. Se essa diferença for positiva, a sequência é crescente; se for negativa, é decrescente.
Calculando:
Simplificando:
Como
,
. Portanto, a diferença
é negativa para todo
, o que significa que a sequência é decrescente.
Passo 4
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Para isso, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito.
Sabemos que
tende a zero mais rápido do que
tende ao infinito. Portanto,
Isso indica que a sequência é limitada inferiormente por 0.
Além disso, como a sequência é positiva para todo
:
E o primeiro termo quando
é:
Portanto, a sequência é limitada superiormente por
.
Resposta
A sequência
é decrescente e está limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por
.
Exercícios relacionados
Dada
determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$(a)
$(a)
Resolva a edo linear homogênea com coeficientes constantes.
Dada
determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$©
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Resolva a edo linear homogênea com coeficientes constantes.