Dada a_n determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$(b) b

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por . Precisamos determinar se essa sequência é crescente ou decrescente e se ela é limitada superior ou inferiormente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de sequências, como derivadas para funções contínuas que ajudam a entender o comportamento das sequências, e propriedades dos limites.

Passo 2

Vamos começar observando a expressão da sequência: . Sabemos que é uma função exponencial decrescente, já que a base elevada a um número negativo diminui conforme cresce. Por outro lado, é uma função linear crescente. Então, estamos lidando com o produto de uma função crescente e uma função decrescente.

Passo 3

Para determinar se a sequência é crescente ou decrescente, calculamos a diferença entre termos consecutivos, ou seja, . Se essa diferença for positiva, a sequência é crescente; se for negativa, é decrescente.
Calculando:
Simplificando:
Como , . Portanto, a diferença é negativa para todo , o que significa que a sequência é decrescente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Para isso, calculamos o limite de quando tende ao infinito.
Sabemos que tende a zero mais rápido do que tende ao infinito. Portanto,
Isso indica que a sequência é limitada inferiormente por 0.
Além disso, como a sequência é positiva para todo :
E o primeiro termo quando é:
Portanto, a sequência é limitada superiormente por .

Resposta

A sequência é decrescente e está limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por .

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Dada a_n determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
$(a) a
Resolva a edo linear homogênea com coeficientes constantes.
y'' - y' + y = 0
Dada a_n determine se a sequência é crescente ou decrescente, limitada superior ou inferiormente nos seguintes casos:
c
Resolva a edo linear homogênea com coeficientes constantes.
y'' + 2y' - y = 0