Dada a equação diferencial em coordenadas retangulares, para o princípio da conservação da massa em um volume de controle:
partial rho upartial x+partial rho vpartial y+partial rho wpartial z+partial rhopartial t=0
Onde,
rho, densidade e V=i u+j v+k w, velocidade.
Considerando o escoamento permanente de um fluido, assinale a equação da continuidade simplificada.
A) nabla cdot V=0
B) nabla cdot rho cdot V=0
C) nabla cdot rho cdot V=partial rhopartial t
D) partial upartial x+partial vpartial y+partial wpartial z=rho
E) partial rho upartial x+partial rho vpartial y+partial rho wpartial z=nabla cdot rho cdot V

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que representa o princípio da conservação da massa em um volume de controle para um fluido em escoamento. O conteúdo envolve mecânica dos fluidos e especificamente a equação de continuidade. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar essa equação quando o escoamento é permanente (também chamado de escoamento estacionário).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação original da continuidade:
partial rho upartial x + partial rho vpartial y + partial rho wpartial z + partial rhopartial t = 0
Aqui, é a densidade do fluido e , , são as componentes da velocidade nas direções , e respectivamente.

Passo 3

A questão menciona que o escoamento é permanente, ou seja, estacionário. Isso significa que as propriedades do fluido, como a densidade, não mudam com o tempo. Portanto, a derivada temporal da densidade é zero:
partial rhopartial t = 0

Passo 4

Com essa informação, podemos simplificar a equação da continuidade substituindo partial rho upartial x + partial rho vpartial y + partial rho wpartial z = 0 por zero:
Isso significa que a divergência do fluxo de massa é igual a zero em escoamento permanente.

Passo 5

Agora, vamos relacionar essa simplificação com as opções fornecidas na questão. A equação que corretamente representa a continuidade para um escoamento permanente é:
nabla cdot (rho V) = 0
Essa é a representação da opção B.

Resposta

A equação da continuidade simplificada para escoamento permanente é a opção B:
nabla cdot (rho V) = 0

Exercícios relacionados