Uma dada força
amortece com o tempo
na forma
. Escreva as equações dimensionai de
do fator de amortecimento
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força
que diminui com o tempo segundo a equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir as equações dimensionais de
e do fator de amortecimento
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de dimensionalidade na física, que basicamente trata das unidades de cada grandeza envolvida na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
. Aqui,
e
são forças, então as duas têm a mesma dimensão. A função exponencial
é adimensional, ou seja, o que está dentro do expoente precisa ser sem dimensão. Isso nos dá uma pista importante para encontrar as dimensões de
.
Passo 3
Sabemos que a força tem a dimensão de massa vezes aceleração. Em termos de dimensões básicas, isso é:
Onde:
-
é massa, -
é comprimento, -
é tempo.
Como
e
têm a mesma dimensão:
Passo 4
Agora, vamos analisar o fator de amortecimento
. Dentro do expoente
, a combinação
precisa ser adimensional. Sabendo que
tem dimensão de tempo (
), então
deve ter dimensão inversa do tempo para que o produto
não tenha unidade.
Portanto, a dimensão de
é:
Resposta
As equações dimensionais são:
e