Uma dada força F amortece com o tempo t na forma F=F0 e^-lambda t. Escreva as equações dimensionai de F0 e do fator de amortecimento lambda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma força F que diminui com o tempo segundo a equação F = F0 e^-lambda t. Nosso objetivo aqui é descobrir as equações dimensionais de F0 e do fator de amortecimento lambda. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de dimensionalidade na física, que basicamente trata das unidades de cada grandeza envolvida na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação dada: F = F0 e^-lambda t. Aqui, F e F0 são forças, então as duas têm a mesma dimensão. A função exponencial e^-lambda t é adimensional, ou seja, o que está dentro do expoente precisa ser sem dimensão. Isso nos dá uma pista importante para encontrar as dimensões de lambda.

Passo 3

Sabemos que a força tem a dimensão de massa vezes aceleração. Em termos de dimensões básicas, isso é:
[F] = M cdot L cdot T^-2
Onde:
  • M é massa,
  • L é comprimento,
  • T é tempo.
Como F e F0 têm a mesma dimensão:
[F0] = M cdot L cdot T^-2

Passo 4

Agora, vamos analisar o fator de amortecimento lambda. Dentro do expoente -lambda t, a combinação lambda t precisa ser adimensional. Sabendo que t tem dimensão de tempo ( T), então lambda deve ter dimensão inversa do tempo para que o produto lambda t não tenha unidade.
Portanto, a dimensão de lambda é:
[lambda] = T^-1

Resposta

As equações dimensionais são:
[F0] = M cdot L cdot T^-2
e
[lambda] = T^-1

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