Dada a função f(x) = -x² + 9x - 8, determine os valores reais de x para que se tenha:
a) f(x) = 0
b) f(x) = 10
c) f(x) = 11
d) f(x) = -15/4
a) f(x) = 0
b) f(x) = 10
c) f(x) = 11
d) f(x) = -15/4
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função $ f(x) = -x^2 + 9x - 8 $ e precisamos encontrar os valores de $ x $ que fazem $ f(x) $ igual a 0, 10, 11 e
. Para resolver isso, vamos usar a teoria de equações quadráticas, que nos ajuda a encontrar as raízes de funções do segundo grau como essa.
Passo 2
a) $ f(x) = 0 $
Primeiro, substituímos $ f(x) $ por 0 na função:
Agora, vamos reorganizar a equação para facilitar a resolução:
Essa é uma equação quadrática da forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -9 $ e $ c = 8
\Delta $):
Como $ \Delta $ é positivo, temos duas raízes reais:
Então:
Passo 3
b) $ f(x) = 10 $
Substituímos $ f(x) $ por 10:
Reorganizando:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Usando Bhaskara novamente, com $ a = 1 $, $ b = -9 $ e $ c = 18 $:
Como $ \Delta $ é positivo:
Então:
Passo 4
c) $ f(x) = 11 $
Substituímos $ f(x) $ por 11:
Reorganizando:
Multiplicando por -1:
Agora, aplicamos Bhaskara com $ a = 1 $, $ b = -9 $ e $ c = 19 $:
Como $ \Delta $ é positivo, temos duas raízes reais:
Então:
Passo 5
d) $ f(x) = -\frac{15}{4} $
Substituímos $ f(x) $ por
:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Reorganizando:
Multiplicando por -1 para facilitar:
Aplicando Bhaskara com $ a = 4 $, $ b = -36 $ e $ c = 17 $:
Como $ \Delta $ é positivo, temos duas raízes reais:
Então:
Resposta
a) $ x = 1 $ e $ x = 8 $
b) $ x = 3 $ e $ x = 6 $
c) $ x = \frac{9 + \sqrt{5}}{2} $ e $ x = \frac{9 - \sqrt{5}}{2} $
d) $ x = 0.5 $ e $ x = 8.5 $
b) $ x = 3 $ e $ x = 6 $
c) $ x = \frac{9 + \sqrt{5}}{2} $ e $ x = \frac{9 - \sqrt{5}}{2} $
d) $ x = 0.5 $ e $ x = 8.5 $