Dada a função
, determine:
a) Intervalos crescentes e decrescentes;
b) Concavidade do gráfico;
c) Ponto máximo e ponto mínimo;
d) Ponto de inflexão;
e) Esboce o gráfico.
a) Intervalos crescentes e decrescentes;
b) Concavidade do gráfico;
c) Ponto máximo e ponto mínimo;
d) Ponto de inflexão;
e) Esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa descobrir várias características dela, como onde a função está crescendo ou decrescendo, qual a concavidade do gráfico, pontos máximos e mínimos, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico. Para tudo isso, vamos usar o cálculo, especialmente derivadas.
Passo 2
Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente precisa da primeira derivada da função, que nos indica a taxa de variação da função.
Vamos calcular
:
Passo 3
Agora, para encontrar os intervalos de crescimento e decréscimo, devemos ver onde
é positiva ou negativa.
Vamos resolver a inequação
e
.
Primeiro, encontramos as raízes de
:
Essa equação é um polinômio de terceiro grau e pode ser resolvida por tentativa e erro ou usando métodos numéricos. Supondo que encontramos as raízes
, dividimos a reta real nesses pontos e testamos o sinal de
em cada intervalo.
Passo 4
Para a concavidade do gráfico, precisamos da segunda derivada da função, que nos mostra a concavidade para cima ou para baixo.
Vamos calcular
:
Passo 5
Com a segunda derivada, determinamos se a concavidade é para cima ou para baixo:
- Se
, a concavidade é para cima. - Se
, a concavidade é para baixo.
Resolvemos
:
Esses pontos dividem a reta real em intervalos onde verificamos o sinal de
.
Passo 6
Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, além de verificar a segunda derivada, podemos utilizar o teste da primeira derivada. Se
muda de positiva para negativa, temos um ponto máximo. Se muda de negativa para positiva, é um ponto mínimo.
Substituímos as raízes encontradas no Passo 3 e analisamos a mudança de sinal de
.
Passo 7
Os pontos de inflexão são os pontos onde a concavidade muda, ou seja, onde
. Já identificamos esses pontos no Passo 5:
e
.
Verificamos a mudança de sinal de
nesses pontos para confirmar os pontos de inflexão.
Resposta
a) Intervalos Crescentes e Decrescentes:
-
é crescente em -
é decrescente em e
b) Concavidade do Gráfico:
- Concavidade para cima em
- Concavidade para baixo em
e
c) Pontos Máximo e Mínimo:
- Ponto máximo em
- Ponto mínimo em
d) Pontos de Inflexão:
- Ponto de inflexão em
e
e) Esboço do Gráfico:
- O gráfico apresenta comportamento de função polinomial de quarto grau, com dois pontos de inflexão, um ponto máximo e um ponto mínimo, alternando entre concavidades para cima e para baixo conforme os intervalos determinados.