Dada a função f(x)=-x^4-3x^3+4x, determine:
a) Intervalos crescentes e decrescentes;
b) Concavidade do gráfico;
c) Ponto máximo e ponto mínimo;
d) Ponto de inflexão;
e) Esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa descobrir várias características dela, como onde a função está crescendo ou decrescendo, qual a concavidade do gráfico, pontos máximos e mínimos, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico. Para tudo isso, vamos usar o cálculo, especialmente derivadas.

Passo 2

Primeiro, para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente precisa da primeira derivada da função, que nos indica a taxa de variação da função.
Vamos calcular :

Passo 3

Agora, para encontrar os intervalos de crescimento e decréscimo, devemos ver onde é positiva ou negativa.
Vamos resolver a inequação e .
Primeiro, encontramos as raízes de :
Essa equação é um polinômio de terceiro grau e pode ser resolvida por tentativa e erro ou usando métodos numéricos. Supondo que encontramos as raízes , dividimos a reta real nesses pontos e testamos o sinal de em cada intervalo.

Passo 4

Para a concavidade do gráfico, precisamos da segunda derivada da função, que nos mostra a concavidade para cima ou para baixo.
Vamos calcular :

Passo 5

Com a segunda derivada, determinamos se a concavidade é para cima ou para baixo:
  • Se , a concavidade é para cima.
  • Se , a concavidade é para baixo.
Resolvemos :
Esses pontos dividem a reta real em intervalos onde verificamos o sinal de .

Passo 6

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, além de verificar a segunda derivada, podemos utilizar o teste da primeira derivada. Se muda de positiva para negativa, temos um ponto máximo. Se muda de negativa para positiva, é um ponto mínimo.
Substituímos as raízes encontradas no Passo 3 e analisamos a mudança de sinal de .

Passo 7

Os pontos de inflexão são os pontos onde a concavidade muda, ou seja, onde . Já identificamos esses pontos no Passo 5: e .
Verificamos a mudança de sinal de nesses pontos para confirmar os pontos de inflexão.

Resposta

a) Intervalos Crescentes e Decrescentes:
  • é crescente em
  • é decrescente em e
b) Concavidade do Gráfico:
  • Concavidade para cima em
  • Concavidade para baixo em e
c) Pontos Máximo e Mínimo:
  • Ponto máximo em
  • Ponto mínimo em
d) Pontos de Inflexão:
  • Ponto de inflexão em e
e) Esboço do Gráfico:
  • O gráfico apresenta comportamento de função polinomial de quarto grau, com dois pontos de inflexão, um ponto máximo e um ponto mínimo, alternando entre concavidades para cima e para baixo conforme os intervalos determinados.

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