Se um resistor de ohms está ligado a uma bateria de E volts cuja resistência interna é r ohms, a corrente de I ampères formará e gerara P watts. Nesse caso, P é dado pela equação , onde . Encontre a resistência R se a potência gerada é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um resistor de resistência ohms conectado a uma bateria de tensão volts, que tem uma resistência interna ohms. A corrente que passa pelo circuito é amperes, e a potência gerada pelo resistor é watts. A gente precisa encontrar o valor de que faz essa potência ser máxima. Vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos e otimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que relaciona a potência com a corrente e a resistência :
Isso significa que a potência dissipada no resistor é igual ao quadrado da corrente multiplicado pela resistência.

Passo 3

Sabemos também que a corrente no circuito é dada por:
Isso vem da Lei de Ohm, onde a corrente é igual à tensão dividida pela resistência total do circuito ( mais ).

Passo 4

Vamos substituir a expressão da corrente na equação da potência :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor de que maximiza . Para isso, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero. Vamos chamar a função potência de :

Passo 6

Calculando a derivada de em relação a usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto,

Passo 7

Para encontrar o ponto de máximo, igualamos a zero:
Como e são sempre positivos, a equação será igual a zero quando:

Resposta

A resistência que maximiza a potência gerada é igual à resistência interna da bateria, ou seja, .

Exercícios relacionados

Dada a função , determine:
a) Intervalos crescentes e decrescentes;
b) Concavidade do gráfico;
c) Ponto máximo e ponto mínimo;
d) Ponto de inflexão;
e) Esboce o gráfico.
Colocar as medidas experimentais e teóricas em um contexto mais amplo pode oferecer uma plataforma para desenvolvimento adicional no avanço da compreensão científica dos sistemas de nanomateriais e suas propriedades, o que por sua vez pode levar a inovações na área da eletrônica quântica, química de materiais e outras disciplinas científicas afins.
Calcule as derivadas das funções abaixo:
Determine a reta tangente às seguintes curvas no ponto indicado. Esboce o gráfico em cada caso.