Se um resistor de
ohms está ligado a uma bateria de E volts cuja resistência interna é r ohms, a corrente de I ampères formará e gerara P watts. Nesse caso, P é dado pela equação
, onde
. Encontre a resistência R se a potência gerada é máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um resistor de resistência
ohms conectado a uma bateria de tensão
volts, que tem uma resistência interna
ohms. A corrente que passa pelo circuito é
amperes, e a potência gerada pelo resistor é
watts. A gente precisa encontrar o valor de
que faz essa potência ser máxima. Vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos e otimização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que relaciona a potência
com a corrente
e a resistência
:
Isso significa que a potência dissipada no resistor é igual ao quadrado da corrente multiplicado pela resistência.
Passo 3
Sabemos também que a corrente
no circuito é dada por:
Isso vem da Lei de Ohm, onde a corrente é igual à tensão dividida pela resistência total do circuito (
mais
).
Passo 4
Vamos substituir a expressão da corrente
na equação da potência
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, queremos encontrar o valor de
que maximiza
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Vamos chamar a função potência de
:
Passo 6
Calculando a derivada de
em relação a
usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto,
Passo 7
Para encontrar o ponto de máximo, igualamos
a zero:
Como
e
são sempre positivos, a equação será igual a zero quando:
Resposta
A resistência
que maximiza a potência gerada é igual à resistência interna da bateria, ou seja,
.