Se um resistor de R ohms está ligado a uma bateria de E volts cuja resistência interna é r ohms, a corrente de I ampères formará e gerara P watts. Nesse caso, P é dado pela equação P = I^2 R, onde I = E / (R + r). Encontre a resistência R se a potência gerada é máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um resistor de resistência R ohms conectado a uma bateria de tensão E volts, que tem uma resistência interna r ohms. A corrente que passa pelo circuito é I amperes, e a potência gerada pelo resistor é P watts. A gente precisa encontrar o valor de R que faz essa potência ser máxima. Vamos precisar usar conceitos de circuitos elétricos e otimização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que relaciona a potência P com a corrente I e a resistência R:
Isso significa que a potência dissipada no resistor é igual ao quadrado da corrente multiplicado pela resistência.

Passo 3

Sabemos também que a corrente I no circuito é dada por:
Isso vem da Lei de Ohm, onde a corrente é igual à tensão dividida pela resistência total do circuito ( R mais r).

Passo 4

Vamos substituir a expressão da corrente I na equação da potência P:
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, queremos encontrar o valor de R que maximiza P. Para isso, vamos derivar P em relação a R e igualar a derivada a zero. Vamos chamar a função potência de :

Passo 6

Calculando a derivada de em relação a R usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto,

Passo 7

Para encontrar o ponto de máximo, igualamos a zero:
Como e são sempre positivos, a equação será igual a zero quando:

Resposta

A resistência R que maximiza a potência gerada é igual à resistência interna da bateria, ou seja, .

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