Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Esse problema pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente ao estudo de derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia e conhecer as derivadas das funções
e .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função composta que temos aqui. A função
é a composição de
, onde . Ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos lembrar da Regra da Cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra diz que se temos uma função
, sua derivada é
.
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de
em relação a
:
E a derivada de em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Simplificando a raiz:
Assumindo que
é positivo no intervalo considerado, temos:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Se um resistor de
ohms está ligado a uma bateria de E volts cuja resistência interna é r ohms, a corrente de I ampères formará e gerara P watts. Nesse caso, P é dado pela equação
, onde
. Encontre a resistência R se a potência gerada é máxima.
Dada a função
, determine:
a) Intervalos crescentes e decrescentes;
b) Concavidade do gráfico;
c) Ponto máximo e ponto mínimo;
d) Ponto de inflexão;
e) Esboce o gráfico.
a) Intervalos crescentes e decrescentes;
b) Concavidade do gráfico;
c) Ponto máximo e ponto mínimo;
d) Ponto de inflexão;
e) Esboce o gráfico.
Determine a reta tangente às seguintes curvas no ponto indicado. Esboce o gráfico em cada caso.
Mostre os seguintes itens abaixo