Calcule as derivadas das funções abaixo: f(x) = arccos(sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Esse problema pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente ao estudo de derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia e conhecer as derivadas das funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função composta que temos aqui. A função é a composição de , onde . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra da Cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra diz que se temos uma função , sua derivada é .
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de em relação a :
E a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Simplificando a raiz:
Assumindo que é positivo no intervalo considerado, temos:

Resposta

A derivada da função é:

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