Calcule as derivadas das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Esse problema pertence ao conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente ao estudo de derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia e conhecer as derivadas das funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função composta que temos aqui. A função é a composição de , onde . Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Regra da Cadeia, que é usada para derivar funções compostas. A regra diz que se temos uma função , sua derivada é .
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de em relação a :
E a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Simplificando a raiz:
Assumindo que é positivo no intervalo considerado, temos:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Se um resistor de ohms está ligado a uma bateria de E volts cuja resistência interna é r ohms, a corrente de I ampères formará e gerara P watts. Nesse caso, P é dado pela equação , onde . Encontre a resistência R se a potência gerada é máxima.
Dada a função , determine:
a) Intervalos crescentes e decrescentes;
b) Concavidade do gráfico;
c) Ponto máximo e ponto mínimo;
d) Ponto de inflexão;
e) Esboce o gráfico.
Determine a reta tangente às seguintes curvas no ponto indicado. Esboce o gráfico em cada caso.
Mostre os seguintes itens abaixo