Dada a função:
Determinar m para que a função seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função definida por partes e pede para encontrar o valor de
que torna essa função contínua em
. A matéria envolvida aqui é continuidade de funções, e vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em
.
Passo 3
Vamos analisar as duas partes da função:
- Para
: - Para
:
Primeiro, precisamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de 2.
Passo 4
Calculando o limite:
Se substituirmos
diretamente, teremos uma indeterminação do tipo
. Então, precisamos manipular essa expressão para resolver o limite.
Passo 5
Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para eliminar a raiz:
Agora, podemos simplificar o
no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, substituímos
nessa expressão simplificada para encontrar o limite:
Passo 7
Para que a função seja contínua em
, o limite que encontramos deve ser igual a
. Ou seja:
Resposta
Portanto, o valor de
que torna a função contínua em
é:
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Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
ou
como indicado.
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Calcule o valor de
Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
c)
c)