Dada a função:
f(x) = { (raiz(2 + x) - 2) / (x - 2), x != 2; 2, x = 2 }
Determinar m para que a função seja contínua em x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma função definida por partes e pede para encontrar o valor de que torna essa função contínua em . A matéria envolvida aqui é continuidade de funções, e vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em .

Passo 3

Vamos analisar as duas partes da função:
  • Para :
  • Para :
Primeiro, precisamos encontrar o limite de quando se aproxima de 2.

Passo 4

Calculando o limite:
Se substituirmos diretamente, teremos uma indeterminação do tipo . Então, precisamos manipular essa expressão para resolver o limite.

Passo 5

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para eliminar a raiz:
Agora, podemos simplificar o no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, substituímos nessa expressão simplificada para encontrar o limite:

Passo 7

Para que a função seja contínua em , o limite que encontramos deve ser igual a . Ou seja:

Resposta

Portanto, o valor de que torna a função contínua em é:

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