Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular ou como indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso faz parte do estudo das transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais de forma mais fácil. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar expressões complicadas em partes mais simples que a gente já sabe transformar de volta para o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a expressão em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Vamos expandir e rearranjar os termos:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Passo 4
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Passo 5
Primeiro, da terceira equação:
Agora, da segunda equação:
Finalmente, da primeira equação:
Passo 6
Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente:
(a transformada inversa de é a função constante 1)
(a transformada inversa de é a função identidade )