Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular L{f(t)} ou L^{-1}{F(s)} como indicado.
L^{-1}{1/(s^{2}(s+4))}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso faz parte do estudo das transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais de forma mais fácil. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar expressões complicadas em partes mais simples que a gente já sabe transformar de volta para o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a expressão em frações parciais. Queremos encontrar constantes , e tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Vamos expandir e rearranjar os termos:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:

Passo 4

Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 5

Primeiro, da terceira equação:
Agora, da segunda equação:
Finalmente, da primeira equação:

Passo 6

Agora que temos os valores de , e , podemos reescrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente:
  1. (a transformada inversa de é a função constante 1)
  2. (a transformada inversa de é a função identidade )
  3. (a transformada inversa de é )

Passo 8

Aplicando as constantes que encontramos:
Simplificando:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:

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Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular L{f(t)} ou L^{-1}{F(s)} como indicado.
e L{t cos(2t)}
Explicite os pontos de descontinuidade das seguintes funções:
b) f(x) = 1/x
Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular L{f(t)} ou L^{-1}{F(s)} como indicado.
L{t e^{2 t} sen(6 t)}
Dada a função:
f(x) = { (raiz(2 + x) - 2) / (x - 2), x != 2; 2, x = 2 }
Determinar m para que a função seja contínua em x = 2.