Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
ou
como indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a transformada de Laplace da função
. Vamos usar as propriedades de translação (graças ao
) e derivadas das transformadas de Laplace. Precisamos lembrar das fórmulas básicas da transformada de Laplace e como elas se aplicam a funções que são multiplicadas por exponenciais e por
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função sem a parte exponencial. A função base aqui é
. Sabemos que a transformada de Laplace de
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, vamos lidar com o fator exponencial
. Existe uma propriedade da transformada de Laplace que diz:
Onde
é a transformada de Laplace de
. No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, temos o
multiplicando a função. Para isso, usamos outra propriedade da transformada de Laplace:
Ou seja, a transformada de
é a derivada de
em relação a
, com sinal negativo. Aplicando isso à nossa função:
Passo 5
Vamos calcular a derivada:
A derivada de
em relação a
é:
Aplicando a propriedade:
Resposta
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Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
ou
como indicado.
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Dada a função:
Determinar m para que a função seja contínua em
.
Calcule o valor de