Dada a função de transferência abaixo, construa o gráfico de Bode de amplitude e fase.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir o gráfico de Bode de amplitude e fase para a função de transferência $ H(s) = \frac{10000 s}{(s+10)(s+100)} $, onde $ s = j\omega $. Isso está dentro da matéria de Sistemas de Controle, especificamente na parte de análise de sistemas no domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar entender como construir gráficos de Bode, que nos mostram como a magnitude e a fase da nossa função de transferência variam com a frequência $ \omega $.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir $ s $ por $ j\omega $ na função de transferência:
Isso nos ajuda a analisar como a função se comporta para diferentes valores de frequência.
Passo 3
Agora, vamos separar a função de transferência em módulos e fases para facilitar a construção dos gráficos de Bode. A magnitude de $ H(j\omega) $ é dada por:
E a fase de $ H(j\omega) $ é:
Passo 4
Vamos agora analisar cada componente separadamente para facilitar nosso trabalho.
Para a magnitude:
Podemos simplificar essa expressão calculando os valores para diferentes $ \omega $ e, assim, traçar o gráfico de magnitude em decibéis (dB):
Passo 5
Para a fase:
Sabemos que a fase de $ j\omega $ é $ 90^\circ $, e para termos os ângulos dos denominadores, usamos:
Então:
Passo 6
Com essas expressões, podemos calcular a magnitude e a fase para uma gama de frequências $ \omega $. Geralmente, usamos uma escala logarítmica para $ \omega $ ao construir o gráfico de Bode. Calculando esses valores, vamos plotar dois gráficos separados: um para a magnitude (em dB) e outro para a fase (em graus).
Passo 7
Depois de calcular os valores para diferentes $ \omega $, plotamos os pontos no gráfico e conectamos com linhas suaves. O gráfico de Bode de amplitude mostrará como o ganho do sistema varia com a frequência, enquanto o gráfico de fase mostrará como o ângulo de fase varia.
Resposta
Assim, construímos os gráficos de Bode de amplitude e fase para a função de transferência $ H(s) = \frac{10000 s}{(s+10)(s+100)} $, observando como a magnitude e a fase mudam com a frequência $ \omega $.