Dada a função y = 1/(1+x^2) - 1/z' de variável real:
Determine as suas assimptotas; (0,5 valores)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa determinar as suas assíntotas. Assíntotas são linhas que a função se aproxima quando o valor de fica muito grande ou muito pequeno, ou em pontos onde a função não é definida. Para resolver isso, vamos precisar entender os diferentes tipos de assíntotas e analisar o comportamento da função em diferentes situações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função tem assíntotas verticais. Assíntotas verticais acontecem quando o denominador de alguma fração na função se aproxima de zero, fazendo a função tender ao infinito. Olhando para a nossa função , vemos que o denominador nunca será zero porque é sempre positivo ou zero. Portanto, não há assíntotas verticais.

Passo 3

Agora, vamos verificar se há assíntotas horizontais. Assíntotas horizontais ocorrem quando tende a ou . Vamos analisar o comportamento de cada parte da função:
  • Para , quando fica muito grande (positivamente ou negativamente), domina o denominador, então tende a 0.
  • A segunda parte da função é , que é uma constante.
Somando essas duas partes, temos que tende a quando vai para . Isso significa que a função tem uma assíntota horizontal em .

Passo 4

Por fim, vamos verificar se existem assíntotas oblíquas. Assíntotas oblíquas aparecem quando, ao dividir a função por , o quociente resulta em uma reta linear que não é horizontal. No nosso caso, como a função tende a uma constante e não a uma expressão linear de , não há assíntotas oblíquas.

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal em e não possui assíntotas verticais ou oblíquas.

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