Numa progressão aritmética crescente, os dois termos são raízes da equação 8. Sabendo que o número de termos dessa PA é igual ao triplo da sua razão, calcule a soma dos termos da PA. (2,25 valores)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre uma progressão aritmética (PA) onde os termos são as raízes da equação quadrática . Além disso, sabemos que o número de termos dessa PA é três vezes a sua razão (o espaço entre um termo e o próximo). Precisamos calcular a soma dos termos dessa PA. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de progressão aritmética e resolver uma equação quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação . As raízes são os valores de que satisfazem a equação, ou seja, fazem com que o lado esquerdo seja igual a zero.
Para resolver equações quadráticas, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e .
Calculando o discriminante ( ):
Agora, aplicando na fórmula:
Então, as raízes são:
Portanto, os termos da PA são -4 e 2.

Passo 3

Sabemos que em uma PA, a diferença entre termos consecutivos é constante, chamada de razão ( ). Como a PA é crescente, é positivo. Também sabemos que o número de termos ( ) é igual a três vezes a razão:
Isso vai nos ajudar a relacionar o número de termos com a razão.

Passo 4

Agora, vamos determinar os termos da PA. Temos dois termos dados: -4 e 2. Como a PA é crescente, -4 deve ser o primeiro termo ( ) e 2 o segundo termo ( ):
Com a razão , podemos encontrar o número de termos:

Passo 5

Agora que temos , e , vamos calcular o último termo ( ) da PA:

Passo 6

Finalmente, para encontrar a soma dos termos da PA ( ), usamos a fórmula:

Resposta

A soma dos termos da progressão aritmética é 846.

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