Dada a função y=f(x)=10x2+x, qual é a sua derivada no ponto x=2?​​​​​​

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer! O exercício é sobre encontrar a derivada da função $ y = f(x) = 10x^2 + x $ no ponto $ x = 2 $. Isso está dentro do ramo de cálculo, mais especificamente de derivadas. Para resolver, vamos usar as regras de derivação de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a $ x $. Basicamente, ela nos diz o quão rápido $ y $ está mudando quando $ x $ muda.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função $ f(x) = 10x^2 + x $. Para isso, usamos a regra do poder, que é uma das regras básicas de derivação. A regra do poder diz que a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $.

Passo 4

Vamos aplicar a regra do poder em cada termo da função:
  1. Para o termo $ 10x^2 $:
    10x^2
  2. Para o termo $ x $ (que é $ x^1 $):
    ddx(10x^2) = 10 cdot 2x^2-1 = 20x

Passo 5

Agora, somamos as derivadas dos dois termos para obter a derivada da função toda:
f'(x) = 20x + 1

Passo 6

Finalmente, vamos substituir $ x = 2 $ na derivada que encontramos para achar o valor específico no ponto dado:
x = 2

Resposta

A derivada da função $ y = 10x^2 + x $ no ponto $ x = 2 $ é 41.

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