Dados A =(3,0,0),B =(0,1,0) e C =(3,3,0), o ponto D no eixo z ( cota ) para que o tetraedro ABCD tenha volume igual a 18 é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem os pontos $ A = (3, 0, 0) $, $ B = (0, 1, 0) $ e $ C = (3, 3, 0) $. O ponto $ D $ está no eixo $ z $, ou seja, tem coordenadas $ (0, 0, z) $. A questão pede para encontrar o valor de $ z $ tal que o tetraedro formado por esses quatro pontos $ ABCD $ tenha um volume igual a 18. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do volume do tetraedro baseada em determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume $ V $ de um tetraedro formado por quatro pontos $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $:
Essa fórmula usa as coordenadas dos pontos para calcular o determinante de uma matriz 3x3, e depois multiplica pelo $ \frac{1}{6} $ para obter o volume.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula aos nossos pontos. Como $ D = (0, 0, z) $ e $ A = (3, 0, 0) $, calculamos as diferenças das coordenadas:
Passo 4
Agora, montamos a matriz com esses vetores:
Precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
Aplicando isso à nossa matriz:
Simplificando:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do volume:
Queremos que esse volume seja igual a 18:
Passo 6
Resolvendo para $ |z| $:
Isso significa que $ z = 12 $ ou $ z = -12 $. Porém, geralmente consideramos a cota positiva no eixo $ z $, então:
Resposta
O ponto $ D $ no eixo $ z $ que torna o volume do tetraedro $ ABCD $ igual a 18 tem coordenadas $ D = (0, 0, 12) $.