Dados A =(3,0,0),B =(0,1,0) e C =(3,3,0), o ponto D no eixo z ( cota ) para que o tetraedro ABCD tenha volume igual a 18 é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem os pontos $ A = (3, 0, 0) $, $ B = (0, 1, 0) $ e $ C = (3, 3, 0) $. O ponto $ D $ está no eixo $ z $, ou seja, tem coordenadas $ (0, 0, z) $. A questão pede para encontrar o valor de $ z $ tal que o tetraedro formado por esses quatro pontos $ ABCD $ tenha um volume igual a 18. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do volume do tetraedro baseada em determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do volume $ V $ de um tetraedro formado por quatro pontos $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $:
V
Essa fórmula usa as coordenadas dos pontos para calcular o determinante de uma matriz 3x3, e depois multiplica pelo $ \frac{1}{6} $ para obter o volume.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula aos nossos pontos. Como $ D = (0, 0, z) $ e $ A = (3, 0, 0) $, calculamos as diferenças das coordenadas:
D = (0, 0, z)

Passo 4

Agora, montamos a matriz com esses vetores:
-3 & 1 & 0 0 & 3 & 0 -3 & 0 & z
Precisamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det = (-3)(3 cdot z - 0 cdot 0) - 1(0 cdot z - (-3) cdot 0) + 0(0 cdot 0 - (-3) cdot 3)
Simplificando:
det = (-3)(3z) - 1(0 - 0) + 0(0 - (-9)) = -9z - 0 + 0 = -9z

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do volume:
V = 16 | -9z | = 16 times 9 |z| = 96 |z| = 32 |z|
Queremos que esse volume seja igual a 18:
32 |z| = 18

Passo 6

Resolvendo para $ |z| $:
|z|
Isso significa que $ z = 12 $ ou $ z = -12 $. Porém, geralmente consideramos a cota positiva no eixo $ z $, então:

Resposta

O ponto $ D $ no eixo $ z $ que torna o volume do tetraedro $ ABCD $ igual a 18 tem coordenadas $ D = (0, 0, 12) $.

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