Vamos resolver dois exercícios de matrizes aqui! Primeiro, vamos calcular a matriz A sabendo que temos a sua inversa A^-1. Depois, vamos determinar os valores de a, b e c para que uma determinada matriz 4 times 4 seja invertível. Para isso, vamos precisar entender conceitos de matrizes inversas e determinantes.
Passo 2
Exercício 1: Calculando a matriz A a partir de A^-1
Sabemos que A e A^-1 são matrizes inversas, o que significa que A times A^-1 = I, onde I é a matriz identidade. Para encontrar A, basta calcular a inversa de A^-1, ou seja, A = (A^-1)^-1.
Passo 3
Vamos calcular a inversa de A^-1. Para uma matriz 3x3, a fórmula da inversa envolve encontrar a matriz dos cofatores, transpor essa matriz e dividir pelo determinante da matriz original.
Primeiro, vamos calcular o determinante de A^-1.
A^-1 = 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1
Passo 4
Calculando o determinante de A^-1:
det(A^-1) = 1 times (-1 times 1 - 2 times (-2)) - 3 times (0 times 1 - 2 times 1) + (-3) times (0 times (-2) - (-1) times 1)
Simplificando:
det(A^-1) = 1 times (-1 + 4) - 3 times (0 - 2) + (-3) times (0 + 1) = 1 times 3 - 3 times (-2) -3 times 1 = 3 + 6 -3 = 6
Passo 5
Agora, vamos encontrar a matriz dos cofatores de A^-1:
Cof(A^-1) = (-1)^1+1 times (-1 times 1 - 2 times (-2)) & (-1)^1+2 times (0 times 1 - 2 times 1) & (-1)^1+3 times (0 times (-2) - (-1) times 1) (-1)^2+1 times (3 times 1 - (-3) times (-2)) & (-1)^2+2 times (1 times 1 - (-3) times 1) & (-1)^2+3 times (1 times (-2) - 3 times 1) (-1)^3+1 times (3 times 2 - (-3) times (-1)) & (-1)^3+2 times (1 times 2 - (-3) times 0) & (-1)^3+3 times (1 times (-1) - 3 times 0)
Calculando cada elemento:
Cof(A^-1) = 1 times ( -1 + 4 ) & -1 times (0 - 2) & 1 times (0 + 1) -1 times (3 - 6) & 1 times (1 - (-3)) & -1 times (-2 -3) 1 times (6 - 3) & -1 times (2 - 0) & 1 times (-1 -0) = 3 & 2 & 1 3 & 4 & 5 3 & -2 & -1
Passo 6
Agora, transponemos a matriz de cofatores:
Cof(A^-1)^T = 3 & 3 & 3 2 & 4 & -2 1 & 5 & -1
E dividimos cada elemento pelo determinante de A^-1, que é 6:
Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, precisamos calcular o determinante dessa matriz e encontrar os valores de a, b e c que fazem esse determinante ser diferente de zero.
Passo 8
Para facilitar o cálculo do determinante, vamos observar que a matriz tem muitas entradas iguais a 1. Podemos simplificar o cálculo fazendo operações elementares que não mudam o determinante.
Vamos subtrair a primeira linha das demais linhas:
1 & 1 & 1 & 1 0 & a & 0 & 0 0 & 0 & b & 0 0 & 0 & 0 & c
Passo 9
Após essas operações, a matriz fica triangular superior, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Assim:
det = 1 times a times b times c = a b c
Passo 10
Para que a matriz seja invertível, o determinante deve ser diferente de zero:
a b c neq 0
Resposta
Os valores de a, b e c devem ser diferentes de zero, ou seja: