Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz:
[cccc 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1+a & 1 & 1 1 & 1 & 1+b & 1 1 & 1 & 1 & 1+c ] é invertível éí
  1. A matriz M é invertível e verifica (3 M^-1)^t=[ccc1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1], determine M.

Passo 1

Beleza, vamos resolver os dois exercícios que você enviou! No primeiro, precisamos encontrar os valores de e para que uma matriz específica seja invertível. No segundo, vamos determinar a matriz sabendo que ela é invertível e satisfaz uma certa equação envolvendo sua inversa transposta. Para resolver esses problemas, vamos precisar entender conceitos de matrizes invertíveis, determinantes e propriedades de matrizes transpostas e inversas.

Passo 2

Primeiro Exercício: Determinar 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1+a & 1 & 1 1 & 1 & 1+b & 1 1 & 1 & 1 & 1+c para que a matriz seja invertível.
Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz dada e encontrar os valores de e que fazem esse determinante não ser zero.
A matriz em questão é:
Vamos simplificar o cálculo do determinante usando operações de linha.

Passo 3

Primeiro, vamos subtrair a primeira linha das demais linhas para simplificar a matriz. Isso não altera o determinante.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & 1 0 & a & 0 & 0 0 & 0 & b & 0 0 & 0 & 0 & c
Agora, é muito mais fácil calcular o determinante dessa matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).

Passo 4

Para uma matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
determinante = 1 times a times b times c = a b c
Para que a matriz seja invertível, o determinante precisa ser diferente de zero:
a b c neq 0

Passo 5

Ou seja, para que a matriz seja invertível, nenhum dos valores ou pode ser zero. Portanto:

Passo 6

Resposta do Primeiro Exercício: A matriz é invertível para todos os valores de e que sejam diferentes de zero, ou seja, , e .

Passo 7

Agora, vamos resolver o segundo exercício. Temos uma matriz (3 M^-1)^t = 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1 que é invertível e satisfaz a equação:
Nosso objetivo é encontrar a matriz .

Passo 8

Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação representa.
  • é a inversa de .
  • significa que estamos multiplicando cada elemento da inversa de por 3.
  • é a transposta dessa matriz resultante.
Queremos isolar , então vamos manipular a equação passo a passo.

Passo 9

Começamos invertendo ambos os lados da equação. Lembre-se que a transposta da inversa de uma matriz é igual à inversa da transposta, ou seja:
(3 M^-1)^t = 3 (M^-1)^t = 3 (M^t)^-1
Então, temos:
3 (M^t)^-1 = 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1

Passo 10

Agora, vamos isolar (M^t)^-1 = 13 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1 :
M^t = 3 ( 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1 )^-1
Agora, para encontrar , pegamos a inversa de ambos os lados:

Passo 11

Vamos calcular a inversa da matriz dentro dos parênteses. Primeiro, encontramos o determinante dessa matriz.
A matriz é:
A = 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1
O determinante de det(A) = 1 times (-1 times 1 - 2 times (-2)) - 3 times (0 times 1 - 2 times 1) + (-3) times (0 times (-2) - (-1) times 1) = 1 times ( -1 + 4 ) - 3 times (0 - 2) -3 times (0 +1) = 3 + 6 -3 = 6 é:
Como o determinante é , a matriz é invertível.

Passo 12

Agora, calculamos a inversa de A^-1 = 1det(A) times adj(A) :
adj(A) = (-1)(1) - 2(-2) & -[(0)(1) - 2(1)] & (0)(-2) - (-1)(1) -[(3)(1) - (-3)(-2)] & (1)(1) - (-3)(1) & -[(1)(-2) - (-1)(1)] (3)(2) - (-1)(-3) & -[(1)(2) - (0)(-3)] & (1)(-1) - (0)(1) = -1 + 4 & -(0 - 2) & 0 +1 -(3 -6) & 1 +3 & -(-2 +1) 6 -3 & - (2 -0) & -1 -0 = 3 & 2 & 1 3 & 4 & 1 3 & -2 & -1
Calculando a adjunta de A^-1 = 16 3 & 2 & 1 3 & 4 & 1 3 & -2 & -1 , obtemos:
Então,

Passo 13

Agora, substituindo de volta na expressão para M^t = 3 A^-1 = 3 times 16 3 & 2 & 1 3 & 4 & 1 3 & -2 & -1 = 12 3 & 2 & 1 3 & 4 & 1 3 & -2 & -1 = 1.5 & 1 & 0.5 1.5 & 2 & 0.5 1.5 & -1 & -0.5 :
M^t = 1.5 & 1 & 0.5 1.5 & 2 & 0.5 1.5 & -1 & -0.5
Então, a transposta de M = 1.5 & 1.5 & 1.5 1 & 2 & -1 0.5 & 0.5 & -0.5 é:
1.5 & 1.5 & 1.5 1 & 2 & -1 0.5 & 0.5 & -0.5
Para encontrar , basta transpor novamente:
Resposta do Segundo Exercício: A matriz é

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