A matriz M é invertível e verifica (3 M^-1)^t=[ccc1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1], determine M.
Passo 1
Beleza, vamos resolver os dois exercícios que você enviou! No primeiro, precisamos encontrar os valores de e para que uma matriz específica seja invertível. No segundo, vamos determinar a matriz sabendo que ela é invertível e satisfaz uma certa equação envolvendo sua inversa transposta. Para resolver esses problemas, vamos precisar entender conceitos de matrizes invertíveis, determinantes e propriedades de matrizes transpostas e inversas.
Passo 2
Primeiro Exercício: Determinar 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1+a & 1 & 1 1 & 1 & 1+b & 1 1 & 1 & 1 & 1+c para que a matriz seja invertível.
Uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero. Então, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz dada e encontrar os valores de e que fazem esse determinante não ser zero.
A matriz em questão é:
Vamos simplificar o cálculo do determinante usando operações de linha.
Passo 3
Primeiro, vamos subtrair a primeira linha das demais linhas para simplificar a matriz. Isso não altera o determinante.
Depois dessas operações, a matriz fica assim:
1 & 1 & 1 & 1 0 & a & 0 & 0 0 & 0 & b & 0 0 & 0 & 0 & c
Agora, é muito mais fácil calcular o determinante dessa matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero).
Passo 4
Para uma matriz triangular, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Então:
determinante = 1 times a times b times c = a b c
Para que a matriz seja invertível, o determinante precisa ser diferente de zero:
a b c neq 0
Passo 5
Ou seja, para que a matriz seja invertível, nenhum dos valores ou pode ser zero. Portanto:
Passo 6
Resposta do Primeiro Exercício: A matriz é invertível para todos os valores de e que sejam diferentes de zero, ou seja, , e .
Passo 7
Agora, vamos resolver o segundo exercício. Temos uma matriz (3 M^-1)^t = 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1 que é invertível e satisfaz a equação:
Nosso objetivo é encontrar a matriz .
Passo 8
Primeiro, vamos entender o que cada parte da equação representa.
é a inversa de .
significa que estamos multiplicando cada elemento da inversa de por 3.
é a transposta dessa matriz resultante.
Queremos isolar , então vamos manipular a equação passo a passo.
Passo 9
Começamos invertendo ambos os lados da equação. Lembre-se que a transposta da inversa de uma matriz é igual à inversa da transposta, ou seja:
Agora, para encontrar , pegamos a inversa de ambos os lados:
Passo 11
Vamos calcular a inversa da matriz dentro dos parênteses. Primeiro, encontramos o determinante dessa matriz.
A matriz é:
A = 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1
O determinante de det(A) = 1 times (-1 times 1 - 2 times (-2)) - 3 times (0 times 1 - 2 times 1) + (-3) times (0 times (-2) - (-1) times 1) = 1 times ( -1 + 4 ) - 3 times (0 - 2) -3 times (0 +1) = 3 + 6 -3 = 6 é:
Como o determinante é , a matriz é invertível.
Passo 12
Agora, calculamos a inversa de A^-1 = 1det(A) times adj(A) :