Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
(h) llrx+4 y-z+w & = & 2 3 x+2 y+z+2 w & = & 5 -2 x-8 y+2 z-2 w & = & -4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Nosso objetivo é encontrar os valores das variáveis , , e . Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e fazer operações para simplificar e encontrar as soluções possíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e a aplicar o método de eliminação.
1 & 4 & -1 & 1 & | & 2 3 & 2 & 1 & 2 & | & 5 -2 & -8 & 2 & -2 & | & -4

Passo 3

Agora, vamos usar o primeiro pivô, que é o elemento 1 & 4 & -1 & 1 & | & 2 0 & -10 & 4 & -1 & | & -1 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 na primeira linha e primeira coluna. Nosso objetivo é eliminar os das outras linhas.
  • Linha 2:
  • Linha 3:
Fazendo as operações:

Passo 4

Observamos que a terceira linha se reduziu a zeros, o que indica que temos uma equação dependente. Vamos agora focar nas duas primeiras linhas para encontrar as soluções.
Nossa matriz atual é:
1 & 4 & -1 & 1 & | & 2 0 & -10 & 4 & -1 & | & -1

Passo 5

Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por 1 & 4 & -1 & 1 & | & 2 0 & 1 & -25 & 110 & | & 110 para facilitar os cálculos.

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o 1 & 0 & 35 & 35 & | & 1910 0 & 1 & -25 & 110 & | & 110 da primeira linha. Para isso, faremos:
  • Linha 1:
Aplicando a operação:

Passo 7

Agora, temos a seguinte forma simplificada das equações:
x + 35z + 35w = 1910 y - 25z + 110w = 110
Como temos mais variáveis do que equações, vamos atribuir valores livres para duas das variáveis. Vamos escolher e , onde e são números reais quaisquer.

Passo 8

Substituindo e nas equações:

Resposta

As soluções do sistema são dadas em função de x = 1910 - 35t - 35s y = 110 + 25t - 110s z = t w = s e :
Onde e são quaisquer números reais. O sistema possui um grau de liberdade de 2, já que duas variáveis são livres.

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