Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Nosso objetivo é encontrar os valores das variáveis , , e . Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e fazer operações para simplificar e encontrar as soluções possíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e a aplicar o método de eliminação.
Agora, vamos usar o primeiro pivô, que é o elemento 1 & 4 & -1 & 1 & | & 2 0 & -10 & 4 & -1 & | & -1 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 na primeira linha e primeira coluna. Nosso objetivo é eliminar os das outras linhas.
Linha 2:
Linha 3:
Fazendo as operações:
Passo 4
Observamos que a terceira linha se reduziu a zeros, o que indica que temos uma equação dependente. Vamos agora focar nas duas primeiras linhas para encontrar as soluções.
Nossa matriz atual é:
1 & 4 & -1 & 1 & | & 2 0 & -10 & 4 & -1 & | & -1
Passo 5
Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por 1 & 4 & -1 & 1 & | & 2 0 & 1 & -25 & 110 & | & 110 para facilitar os cálculos.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o 1 & 0 & 35 & 35 & | & 1910 0 & 1 & -25 & 110 & | & 110 da primeira linha. Para isso, faremos:
Linha 1:
Aplicando a operação:
Passo 7
Agora, temos a seguinte forma simplificada das equações:
x + 35z + 35w = 1910 y - 25z + 110w = 110
Como temos mais variáveis do que equações, vamos atribuir valores livres para duas das variáveis. Vamos escolher e , onde e são números reais quaisquer.
Passo 8
Substituindo e nas equações:
Resposta
As soluções do sistema são dadas em função de x = 1910 - 35t - 35s y = 110 + 25t - 110s z = t w = s e :
Onde e são quaisquer números reais. O sistema possui um grau de liberdade de 2, já que duas variáveis são livres.