Dada uma partícula de massa m em um potencial unidimensional
com a função de onda:
Determine a constante C.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa
que está num potencial unidimensional
. A função de onda dessa partícula é dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante
. Para isso, vamos usar o conceito de normalização da função de onda, que garante que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. A condição de normalização é:
Isso quer dizer que a integral do quadrado da função de onda em todo o espaço deve ser igual a 1. Vamos aplicar isso à nossa função de onda.
Passo 3
Vamos calcular o quadrado da função de onda
:
Então, a condição de normalização fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa integral. Primeiro, podemos tirar o
fora da integral, já que é uma constante:
Então, precisamos calcular:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar uma fórmula conhecida de integrais gaussianas. A fórmula é:
Essa fórmula nos ajuda a calcular integrais envolvendo
e exponenciais quadráticas.
Passo 6
Substituindo essa fórmula na nossa equação de normalização:
Agora, precisamos isolar
para encontrar o valor da constante.
Passo 7
Vamos resolver para
:
Em seguida, tiramos a raiz quadrada dos dois lados para encontrar
:
Resposta
A constante
é dada por: