Dada uma partícula de massa m em um potencial unidimensional V(x) com a função de onda:
psi(x)=C cdot x cdot e^-12 a x^2, a>0
Determine a constante C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula com massa psi(x) = C cdot x cdot e^-12 a x^2, a > 0 que está num potencial unidimensional . A função de onda dessa partícula é dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar o valor da constante . Para isso, vamos usar o conceito de normalização da função de onda, que garante que a probabilidade de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. A condição de normalização é:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 dx = 1
Isso quer dizer que a integral do quadrado da função de onda em todo o espaço deve ser igual a 1. Vamos aplicar isso à nossa função de onda.

Passo 3

Vamos calcular o quadrado da função de onda |psi(x)|^2 = ( C cdot x cdot e^-12 a x^2 )^2 = C^2 x^2 e^-a x^2 :
integral-infty^+infty C^2 x^2 e^-a x^2 dx = 1
Então, a condição de normalização fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa integral. Primeiro, podemos tirar o C^2 integral-infty^+infty x^2 e^-a x^2 dx = 1 fora da integral, já que é uma constante:
integral-infty^+infty x^2 e^-a x^2 dx
Então, precisamos calcular:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar uma fórmula conhecida de integrais gaussianas. A fórmula é:
integral-infty^+infty x^2 e^-a x^2 dx = raizpi2 a^3/2
Essa fórmula nos ajuda a calcular integrais envolvendo e exponenciais quadráticas.

Passo 6

Substituindo essa fórmula na nossa equação de normalização:
C^2 cdot raizpi2 a^3/2 = 1
Agora, precisamos isolar para encontrar o valor da constante.

Passo 7

Vamos resolver para C^2 = 2 a^3/2raizpi :
C = raiz 2 a^3/2raizpi = ( 2 a^3/2raizpi )^1/2
Em seguida, tiramos a raiz quadrada dos dois lados para encontrar :

Resposta

A constante C = ( 2 a^3/2raizpi )^1/2 é dada por:

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