A função de onda dependente do tempo de uma partícula confinada em uma região entre 0 e L é
, onde
é a frequência angular e
é a energia da partícula. Calcule o valor esperado da posição
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de mecânica quântica onde precisamos calcular o valor esperado da posição de uma partícula. A função de onda dada é
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de valor esperado e as propriedades das funções de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado da posição, denotado por
. Em mecânica quântica, o valor esperado nos dá a posição média onde esperamos encontrar a partícula. A fórmula para calcular
é:
Aqui,
é o conjugado complexo da função de onda
.
Passo 3
Vamos encontrar o conjugado complexo da função de onda
. Dada a função:
O conjugado complexo é:
Assumindo que
é real, então
, simplificando para:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar
por
:
Note que os termos
e
se cancelam, deixando apenas
.
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do valor esperado:
Antes de resolver a integral, precisamos determinar o valor da constante de normalização
. A função de onda deve satisfazer a condição de normalização:
Substituindo:
Sabemos que:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 6
Agora, podemos calcular o valor esperado
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Calculando a primeira integral:
A segunda integral pode ser resolvida por partes, mas notamos que ela se anula devido à simetria da função
. Portanto:
Resposta
O valor esperado da posição
é
.