A função de onda dependente do tempo de uma partícula confinada em uma região entre 0 e L é psi(x, t)=A e^-i omega t sin (pi x / L), onde omega é a frequência angular e E é a energia da partícula. Calcule o valor esperado da posição lang<= xrang<=.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mecânica quântica onde precisamos calcular o valor esperado da posição de uma partícula. A função de onda dada é psi(x, t)=A e^-i omega t sin (pi xL). Para resolver isso, vamos usar o conceito de valor esperado e as propriedades das funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o valor esperado da posição, denotado por lang<= x rang<=. Em mecânica quântica, o valor esperado nos dá a posição média onde esperamos encontrar a partícula. A fórmula para calcular lang<= x rang<= é:
lang<= x rang<= = integral0^L psi^*(x, t) , x , psi(x, t) , dx
Aqui, psi^*(x, t) é o conjugado complexo da função de onda psi(x, t).

Passo 3

Vamos encontrar o conjugado complexo da função de onda psi(x, t). Dada a função:
psi(x, t) = A e^-i omega t sin (pi xL)
O conjugado complexo é:
psi^*(x, t) = A^* e^i omega t sin (pi xL)
Assumindo que A é real, então A^* = A, simplificando para:
psi^*(x, t) = A e^i omega t sin (pi xL)

Passo 4

Agora, vamos multiplicar psi^*(x, t) por psi(x, t):
psi^*(x, t) psi(x, t) = A e^i omega t sin (pi xL) times A e^-i omega t sin (pi xL) = A^2 sin^2 (pi xL)
Note que os termos e^i omega t e e^-i omega t se cancelam, deixando apenas A^2 sin^2 (pi xL).

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do valor esperado:
lang<= x rang<= = integral0^L A^2 sin^2 (pi xL) x , dx
Antes de resolver a integral, precisamos determinar o valor da constante de normalização A. A função de onda deve satisfazer a condição de normalização:
integral0^L |psi(x, t)|^2 , dx = 1
Substituindo:
A^2 integral0^L sin^2 (pi xL) dx = 1
Sabemos que:
integral sin^2(ax) dx = x2 - sin(2ax)4a + C
Aplicando os limites de 0 a L:
A^2 [ L2 ] = 1 implies A^2 = 2L implies A = raiz2L

Passo 6

Agora, podemos calcular o valor esperado lang<= x rang<=:
lang<= x rang<= = 2L integral0^L x sin^2 (pi xL) dx
Usando a identidade trigonométrica sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2:
lang<= x rang<= = 2L integral0^L x ( 1 - cos(2pi xL)2 ) dx = 1L integral0^L x , dx - 1L integral0^L x cos(2pi xL) dx
Calculando a primeira integral:
1L integral0^L x , dx = 1L [ x^22 ]0^L = 1L times L^22 = L2
A segunda integral pode ser resolvida por partes, mas notamos que ela se anula devido à simetria da função cos. Portanto:
lang<= x rang<= = L2

Resposta

O valor esperado da posição lang<= x rang<= é L2.

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