Dada a seguinte equação diferencial para a parte radial da função de onda do átomo de hidrogênio:
onde . O termo é tal que o estado fundamental do átomo de H vale , com sendo o raio de Bohr.
No caso e , pela substituição direta da seguinte função radial na equação diferencial dada acima, onde e são constantes, prove que e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve a parte radial da função de onda do átomo de hidrogênio. A função de onda completa é dada por:
Aqui, é a parte radial e são os harmônicos esféricos. A matéria envolvida inclui equações diferenciais, energia dos estados do átomo de hidrogênio e propriedades das funções de onda. Vamos precisar substituir a função radial proposta na equação dada e encontrar os valores de e .

Passo 2

Vamos começar substituindo e na equação diferencial fornecida:
E a função radial que vamos usar é:

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de em relação a . Vamos encontrar a primeira e a segunda derivadas:
Primeira derivada:
Usando a regra do produto:
Segunda derivada:
Aplicando novamente a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial:
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
  4. Quarto termo:
  5. Quinto termo:

Passo 5

Vamos agora juntar todos os termos e fatorar :
Agora, simplificamos os termos semelhantes:
  • Termos sem :
  • Termos com :
  • Termos com :
  • Termos com :

Passo 6

Como a equação deve valer para todo , cada coeficiente deve ser igual a zero. Vamos igualar cada grupo de termos a zero:
  1. Termo com :
  2. Termo com :
    Como , isso já está satisfeito.
  3. Termo sem :
    Substituindo :
    Isso simplifica para:
    Contudo, se , a função radial seria nula, o que não faz sentido físico. Então, devemos verificar se há algum passo anterior que possa ter levado a uma conclusão incorreta. Observando novamente, percebemos que:
    Na verdade, o termo sem após simplificação correta deveria incorporar e levar à determinação de . Vamos corrigir isso.
Voltando ao passo anterior, com , temos:
Simplificando:
Isso indica que somente satisfaz a equação, mas isso resultaria em , o que não é físico. Portanto, deve haver uma outra abordagem para determinar sem definir . Vamos considerar os termos com .
  1. Termo com :
    Para que isso seja válido para qualquer , precisamos que:

Passo 7

Sabemos que:
Substituindo :
E já determinamos que no Passo 6.

Resposta

Portanto, a energia do estado , é e a constante é zero, ou seja, .

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Dada a seguinte equação diferencial para a parte radial da função de onda do átomo de hidrogênio:
onde . O termo é tal que o estado fundamental do átomo de H vale , com sendo o raio de Bohr.
No caso e , pela substituição direta da seguinte função radial na equação diferencial dada acima, onde e são constantes, prove que e .
Utilize a Propriedade dos Exponentes para reescrever e simplificar a expressão.
(a)
Dada a seguinte equação diferencial para a parte radial da função de onda do átomo de hidrogênio:
onde . O termo é tal que o estado fundamental do átomo de H vale , com sendo o raio de Bohr.
Utilizando a tabela de funções de onda radiais de átomos hidrogenoides, apresentada na aula e também disponível no livro texto, determine o valor das constantes e . Repare que estas constantes poderiam ter sido obtidas pela condição de normalização.