Dada a seguinte equação diferencial para a parte radial
da função de onda
do átomo de hidrogênio:
onde
. O termo
é tal que o estado fundamental do átomo de H vale
, com
sendo o raio de Bohr.
Utilizando a tabela de funções de onda radiais de átomos hidrogenoides, apresentada na aula e também disponível no livro texto, determine o valor das constantes
e
. Repare que estas constantes poderiam ter sido obtidas pela condição de normalização.
Utilizando a tabela de funções de onda radiais de átomos hidrogenoides, apresentada na aula e também disponível no livro texto, determine o valor das constantes
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve a parte radial da função de onda do átomo de hidrogênio. Nosso objetivo é encontrar os valores das constantes
e
usando a tabela de funções de onda radiais e lembrando que essas constantes podem ser obtidas utilizando a condição de normalização.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que são as funções de onda radiais para átomos hidrogenoides. Elas são soluções da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio e dependem dos números quânticos principais
e azimutais
. A tabela mencionada na questão nos fornece essas funções já normalizadas.
Passo 3
A equação diferencial fornecida é:
O objetivo é encontrar
e
que satisfazem essa equação.
Passo 4
Vamos olhar para a forma geral da função de onda radial na tabela. Geralmente, ela é expressa em termos de polinômios associados e inclui constantes que garantem a normalização. Essas constantes são
e
no nosso caso.
Passo 5
Para determinar
e
, usamos a condição de normalização, que diz que a integral do quadrado da função de onda radial sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Isso nos dará equações que relacionam
e
.
Passo 6
Aplicando essa condição à função de onda radial da tabela, substituímos
pela expressão dada que inclui
e
. Calculamos a integral e igualamos a 1 para resolver para
e
.
Passo 7
Após realizar os cálculos da integral e resolver as equações resultantes, encontramos os valores das constantes que garantem a normalização correta da função de onda.
Resposta
As constantes são
e
.
Exercícios relacionados
Dada a seguinte equação diferencial para a parte radial
da função de onda
do átomo de hidrogênio:
onde
. O termo
é tal que o estado fundamental do átomo de H vale
, com
sendo o raio de Bohr.
No caso e
, pela substituição direta da seguinte função radial
na equação diferencial dada acima, onde
e
são constantes, prove que
e
.
No caso
Dada a seguinte equação diferencial para a parte radial
da função de onda
do átomo de hidrogênio:
onde
. O termo
é tal que o estado fundamental do átomo de H vale
, com
sendo o raio de Bohr.
No caso e
, pela substituição direta da seguinte função radial
na equação diferencial dada acima, onde
e
são constantes, prove que
e
.
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