Dada a seguinte equação diferencial para a parte radial da função de onda do átomo de hidrogênio:
onde . O termo é tal que o estado fundamental do átomo de H vale , com sendo o raio de Bohr.
Utilizando a tabela de funções de onda radiais de átomos hidrogenoides, apresentada na aula e também disponível no livro texto, determine o valor das constantes e . Repare que estas constantes poderiam ter sido obtidas pela condição de normalização.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial que descreve a parte radial da função de onda do átomo de hidrogênio. Nosso objetivo é encontrar os valores das constantes e usando a tabela de funções de onda radiais e lembrando que essas constantes podem ser obtidas utilizando a condição de normalização.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar o que são as funções de onda radiais para átomos hidrogenoides. Elas são soluções da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio e dependem dos números quânticos principais e azimutais . A tabela mencionada na questão nos fornece essas funções já normalizadas.

Passo 3

A equação diferencial fornecida é:
O objetivo é encontrar e que satisfazem essa equação.

Passo 4

Vamos olhar para a forma geral da função de onda radial na tabela. Geralmente, ela é expressa em termos de polinômios associados e inclui constantes que garantem a normalização. Essas constantes são e no nosso caso.

Passo 5

Para determinar e , usamos a condição de normalização, que diz que a integral do quadrado da função de onda radial sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Isso nos dará equações que relacionam e .

Passo 6

Aplicando essa condição à função de onda radial da tabela, substituímos pela expressão dada que inclui e . Calculamos a integral e igualamos a 1 para resolver para e .

Passo 7

Após realizar os cálculos da integral e resolver as equações resultantes, encontramos os valores das constantes que garantem a normalização correta da função de onda.

Resposta

As constantes são e .

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Dada a seguinte equação diferencial para a parte radial da função de onda do átomo de hidrogênio:
onde . O termo é tal que o estado fundamental do átomo de H vale , com sendo o raio de Bohr.
No caso e , pela substituição direta da seguinte função radial na equação diferencial dada acima, onde e são constantes, prove que e .
Dada a seguinte equação diferencial para a parte radial da função de onda do átomo de hidrogênio:
onde . O termo é tal que o estado fundamental do átomo de H vale , com sendo o raio de Bohr.
No caso e , pela substituição direta da seguinte função radial na equação diferencial dada acima, onde e são constantes, prove que e .
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