Dada a tabela:
c|cccccc $X$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline $P(X)$ & 0 & $P^2$ & $P^2$ & $P$ & $P$ & $P^2$ 0 1 2 3 4 5
P(X >= 4) 0 P(X<3)
b) Calcule e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem uma tabela que mostra as probabilidades de cada valor da variável aleatória . Nosso objetivo aqui é calcular duas coisas: e . Para isso, vamos precisar entender como as probabilidades estão distribuídas na tabela e usar um pouquinho de álgebra para achar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a tabela que foi dada:
[
c|cccccc $X$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline $P(X)$ & 0 & $P^2$ & $P^2$ & $P$ & $P$ & $P^2$ 0 1 2 3 4 5
0
]
Aqui, cada valor de tem uma probabilidade associada em termos de .

Passo 3

Sabemos que a soma de todas as probabilidades em uma distribuição de probabilidade deve ser igual a 1. Então, vamos somar todas as probabilidades dadas na tabela:
0 + P^2 + P^2 + P + P + P^2 = 3P^2 + 2P = 1

Passo 4

Agora, temos a equação 3P^2 + 2P - 1 = 0 . Para encontrar o valor de , vamos resolver essa equação quadrática:

Passo 5

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equa��ão quadrática P = -b pm raizb^2 - 4ac2a :
P = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 3 cdot (-1)2 cdot 3 = -2 pm raiz4 + 126 = -2 pm raiz166 = -2 pm 46
Aqui, , , e . Substituindo:

Passo 6

Calculando as duas possibilidades:
Como uma probabilidade não pode ser negativa, descartamos . Portanto, .

Passo 7

Agora que sabemos que P(X >= 4) = P(4) + P(5) = P + P^2 = 13 + (13)^2 = 13 + 19 = 49 , vamos calcular :

Passo 8

Também vamos calcular P(X < 3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0 + P^2 + P^2 = 2P^2 = 2 (13)^2 = 2 cdot 19 = 29 :

Resposta

P(X >= 4) = 49 e P(X < 3) = 29

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