Dada a tabela:
X 0 1 2 3 4 5
P(X) 0 P^2 P^2 P P P^2
c) Calcule $P( X-3 <2)$.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela que mostra as probabilidades para cada valor de X. A questão pede para calcular P(|X - 3| < 2), ou seja, a probabilidade de que a distância entre X e 3 seja menor que 2. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade e valores absolutos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa |X - 3| < 2. Isso quer dizer que a diferença entre X e 3 é menor que 2. Em outras palavras, queremos saber para quais valores de X essa condição é verdadeira.

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade:
|X - 3| < 2
Isso significa que:
-2 < X - 3 < 2
Agora, somamos 3 em todas as partes da desigualdade:
1 < X < 5
Então, os valores de X que satisfazem essa condição são aqueles que são maiores que 1 e menores que 5.

Passo 4

Olhemos os valores possíveis de X na tabela: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Com base na condição que encontramos, os valores que atendem a 1 < X < 5 são: 2, 3 e 4.

Passo 5

Agora, vamos somar as probabilidades desses valores. Da tabela, temos:
P(2) = P^2, P(3) = P, P(4) = P
Então:
P(|X - 3| < 2) = P(2) + P(3) + P(4) = P^2 + P + P = P^2 + 2P

Passo 6

Para encontrar o valor de P, precisamos lembrar que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Vamos somar todas as probabilidades da tabela:
P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 0 + P^2 + P^2 + P + P + P^2 = 3P^2 + 2P = 1
Então, temos a equação:
3P^2 + 2P - 1 = 0

Passo 7

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
P = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 3, b = 2, e c = -1. Substituindo:
P = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 3 cdot (-1)2 cdot 3 = -2 pm raiz4 + 126 = -2 pm raiz166 = -2 pm 46
Isso nos dá duas soluções:
P = 26 = 13 ou P = -66 = -1
Como probabilidade não pode ser negativa, descartamos P = -1 e temos P = 13.

Passo 8

Agora, substituímos P = 13 na expressão que encontramos para P(|X - 3| < 2):
P(|X - 3| < 2) = P^2 + 2P = (13)^2 + 2 cdot 13 = 19 + 23 = 19 + 69 = 79

Resposta

A probabilidade de |X - 3| < 2 é 79.

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