Um produtor de sementes vende pacotes com 15 sementes cada um. Os pacotes que apresentam mais de duas sementes sem germinar são indenizados. A probabilidade de uma semente germinar é de 95 %.
a) Qual a probabilidade de um pacote não ser indenizado?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos pacotes com 15 sementes cada, e a chance de uma semente germinar é de 95%. Se mais de duas sementes não germinarem, o produtor indeniza o pacote. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de um pacote não ser indenizado, ou seja, que tenha no máximo duas sementes que não germinem. Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é perfeita para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possibilidades de resultado (sucesso ou fracasso).

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros da Distribuição Binomial no nosso caso:
  • n (número de tentativas) = 15 sementes por pacote.
  • p (probabilidade de sucesso, aqui o sucesso é germinar) = 95% ou 0,95.
  • q (probabilidade de fracasso, ou seja, não germinar) = 5% ou 0,05.
Queremos calcular a probabilidade de ter no máximo 2 sementes não germinando, ou seja, 0, 1 ou 2 sementes falhando.

Passo 3

A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot q^n - k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k sucessos em n tentativas.
  • é a probabilidade de ocorrer k sucessos.
  • é a probabilidade de ocorrer (n - k) fracassos.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade para cada caso: 0, 1 e 2 sementes não germinando.
Para k = 0:
P(X = 0) = binom150 cdot 0,95^0 cdot 0,05^15 = 1 cdot 1 cdot 0,05^15
Para k = 1:
P(X = 1) = binom151 cdot 0,95^1 cdot 0,05^14 = 15 cdot 0,95 cdot 0,05^14
Para k = 2:
P(X = 2) = binom152 cdot 0,95^2 cdot 0,05^13 = 105 cdot 0,95^2 cdot 0,05^13

Passo 5

Agora, vamos calcular cada uma dessas probabilidades:
P(X = 0) approx 1 cdot 1 cdot 0,05^15 approx 3,05 times 10^-21
P(X = 1) approx 15 cdot 0,95 cdot 0,05^14 approx 4,61 times 10^-19
P(X = 2) approx 105 cdot 0,9025 cdot 0,05^13 approx 2,70 times 10^-16

Passo 6

Somando essas probabilidades para obter a probabilidade total de no máximo 2 sementes não germinando:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) approx 3,05 times 10^-21 + 4,61 times 10^-19 + 2,70 times 10^-16 approx 2,70 times 10^-16

Resposta

A probabilidade de um pacote não ser indenizado é aproximadamente , ou seja, praticamente zero.

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