Dadas as equações das elipses: 8.1) 8.2) determine para cada uma os seguintes itens: a excentricidade e o comprimento do latus rectum;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas equações de elipses. Nosso objetivo é encontrar a excentricidade e o comprimento do latus rectum para cada uma delas. Para isso, vamos usar a teoria das elipses, completar os quadrados e aplicar as fórmulas específicas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação: . Primeiro, vamos rearranjar os termos para facilitar o processo de completar o quadrado.

Passo 3

Agrupamos os termos de e de :

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para :
E para :

Passo 5

Substituímos na equação original:

Passo 6

Dividimos tudo por 4 para chegar à forma canônica da elipse:
Aqui, identificamos que e .

Passo 7

A excentricidade de uma elipse é dada por:
Substituindo:

Passo 8

O comprimento do latus rectum é calculado por:
Substituindo:

Passo 9

Agora, vamos para a segunda equação: . Essa equação tem termo misto , o que indica que a elipse está rotacionada. Para simplificar, vamos usar a fórmula da excentricidade diretamente.

Passo 10

A excentricidade de uma elipse com coeficientes é dada por:
Substituindo , , :

Passo 11

Para o comprimento do latus recto, podemos usar a relação:
Mas precisamos identificar e a partir da equação rotacionada, o que requer diagonalização da matriz associada. De forma simplificada, assumindo e , onde são os autovalores.
Após cálculos, obtemos .

Resposta

Para a equação 8.1, a excentricidade é e o comprimento do latus recto é 1. Para a equação 8.2, a excentricidade é e o comprimento do latus recto é 4.

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