Dadas as equações das elipses: 8.1) 8.2) determine para cada uma os seguintes itens: a excentricidade e o comprimento do latus rectum;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas equações de elipses. Nosso objetivo é encontrar a excentricidade e o comprimento do latus rectum para cada uma delas. Para isso, vamos usar a teoria das elipses, completar os quadrados e aplicar as fórmulas específicas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira equação: . Primeiro, vamos rearranjar os termos para facilitar o processo de completar o quadrado.
Passo 3
Agrupamos os termos de e de :
Passo 4
Agora, completamos o quadrado para :
E para :
Passo 5
Substituímos na equação original:
Passo 6
Dividimos tudo por 4 para chegar à forma canônica da elipse:
Aqui, identificamos que e .
Passo 7
A excentricidade de uma elipse é dada por:
Substituindo:
Passo 8
O comprimento do latus rectum é calculado por:
Substituindo:
Passo 9
Agora, vamos para a segunda equação: . Essa equação tem termo misto , o que indica que a elipse está rotacionada. Para simplificar, vamos usar a fórmula da excentricidade diretamente.
Passo 10
A excentricidade de uma elipse com coeficientes é dada por:
Substituindo , , :
Passo 11
Para o comprimento do latus recto, podemos usar a relação:
Mas precisamos identificar e a partir da equação rotacionada, o que requer diagonalização da matriz associada. De forma simplificada, assumindo e , onde são os autovalores.
Após cálculos, obtemos .
Resposta
Para a equação 8.1, a excentricidade é e o comprimento do latus recto é 1. Para a equação 8.2, a excentricidade é e o comprimento do latus recto é 4.