Dadas as equações das elipses: 8.1) x^2+4 y^2+2 x-24 y+33=0 8.2) 17 x^2+12 x y+8 y^2-100=0 determine para cada uma os seguintes itens: a excentricidade e o comprimento do latus rectum;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas equações de elipses. Nosso objetivo é encontrar a excentricidade e o comprimento do latus rectum para cada uma delas. Para isso, vamos usar a teoria das elipses, completar os quadrados e aplicar as fórmulas específicas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira equação: . Primeiro, vamos rearranjar os termos para facilitar o processo de completar o quadrado.

Passo 3

Agrupamos os termos de x^2 + 2x + 4y^2 - 24y = -33 e de :

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 :
4y^2 - 24y = 4(y^2 - 6y) = 4[(y - 3)^2 - 9] = 4(y - 3)^2 - 36
E para :

Passo 5

Substituímos na equação original:
(x + 1)^2 - 1 + 4(y - 3)^2 - 36 = -33
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 - 37 = -33
(x + 1)^2 + 4(y - 3)^2 = 4

Passo 6

Dividimos tudo por 4 para chegar à forma canônica da elipse:
(x + 1)^24 + (y - 3)^21 = 1
Aqui, identificamos que e .

Passo 7

A excentricidade e = raiz1 - b^2a^2 de uma elipse é dada por:
e = raiz1 - 14 = raiz34 = raiz32
Substituindo:

Passo 8

O comprimento do latus rectum L = 2b^2a é calculado por:
L = 2 times 12 = 1
Substituindo:

Passo 9

Agora, vamos para a segunda equação: . Essa equação tem termo misto , o que indica que a elipse está rotacionada. Para simplificar, vamos usar a fórmula da excentricidade diretamente.

Passo 10

A excentricidade de uma elipse com coeficientes e = raiz1 - 21 + raiz1 + (B)^2(A - C)^2 é dada por:
e = raiz1 - 21 + raiz1 + 14481
Substituindo e = raiz1 - 21 + raiz22581 = raiz1 - 21 + 159 = raiz1 - 2249 = raiz1 - 34 = 12 , , :

Passo 11

Para o comprimento do latus recto, podemos usar a relação:
L = 2b^2a
Mas precisamos identificar e a partir da equação rotacionada, o que requer diagonalização da matriz associada. De forma simplificada, assumindo e , onde são os autovalores.
Após cálculos, obtemos .

Resposta

Para a equação 8.1, a excentricidade é e o comprimento do latus recto é 1. Para a equação 8.2, a excentricidade é e o comprimento do latus recto é 4.

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